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Wir schreiben dem Dreiecke Ac^BqCq ein zu A B C ähnlichliegendes 

 Dreieck A' B' C um. Die um A^C^B', BgA^C, CqBqA' beschriebenen 

 Kreise schneiden sich in D und die von D ausgehenden Durchmesser der- 

 selben haben ihre Endpunkte B, C, A in den Ecken des zn A B C gleich- 

 sinnig ähnlichen Dreiecks ABC, für das A^Bi^Cq das kleinste unter den 

 eingeschriebenen, mit AoBqCq gleichsinnig ähnhchen Dreiecken ist. Kon- 

 struieren wir zu der so erhaltenen Figur die etwa für .4 als Ähnlichkeits- 



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M0') 



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Flg. 5. 



~ÄB.- . . — — 



punkt und für ^-^ als Ähnlichkeitsmodul homothetische Figur A*, C*, 



B*, D*, so hat man schließlich um A, B, resp. C als Mittelpunkte Kreise 

 mit den Halbmessern A D*, B* D*, C* D* zu beschreiben, die einen dem 

 Punkte D* entsprechenden Punkt P gemeinschaftlich haben. Die Fuß- 

 punkte der Senkrechten von P auf die Seiten des Dreieckes ABC sind die 

 Ecken für das gesuchte Dreieck A^ B^ Cj. Bezeichnen wieder a,,, bg, Cg die 

 Längen der Seiten von A^Bi^Cg und «, ß, y die Winkel des gegebenen 

 Dreiecks ABC und setzen wir abermals P A = la, P B = Iß, PC = ly, so ist 



la:h:l,= 



sin a ' sin ß ' sin y 



DA -.DB .DC. 



Der Punkt P wird somit auf drei Kreisen Ä«, kß, ky liegen, welche 

 die Eigenschaft haben, daß das Verhältnis der Entfernungen von den Ecken 

 ^, ß für die Punkte auf ky gleich ist l^ : Iß, das Verhältnis der Entfer- 

 nungen von B und C für die Punkte auf k,, gleich Iß : ly und schließlich das 

 Verhältnis der Entfernungen von C und A für die Punkte auf kß gleich 



