ist ly '■ la- Diese Kreise schneiden den um ABC beschriebenen Kreis v 

 orthogonal und untereinander schneiden sie sich, wie aus dem Vorausge- 

 henden folgt, immer reeU und gehören einem Büschel an. Einer von ihren 

 Schnittpunkten ist P, der andre ist der zu P inbezug auf v inverse Punkt P'. 

 Fassen wir dies zusammen, so haben wir folgende Konstruktion: Wir 

 konstruieren zwei der Kreise ^„, k^, ky direkt aus der Proportion 



la-.l,: L 



sin a ' sin ß ' sin y ' 



ohne Benützung der soeben erläuterten Hilfsfigur. Diese Kreise liefern 

 dann direkt P und P'. 



Wir können auch die Zentrale der Kreise ka, k-i, ky konstruieren, 

 indem wir deren Punkte auf A B, B C, C A ermitteln aus der Beziehung, 

 daß diese Punkte die Seiten A B, B C, C A in den Verhältnissen 



/ ÜQ Y / bg Y / b„ x2 / c„ N2 / Cq y\ / »0 Y 

 \ sin a ) \ sin ß J ' \ sin ß / \ sin y J ' \ sin y J \ sin a / 



teüen, wodurch diese Kreise als Orthogonalkreise zu v festgelegt sind. 



Liegt nun P außerhalb des dem Dreieck umgeschriebenen Kreises v, 

 so hegt P' innerhalb desselben und umgekehrt. Die Dreiecke Ai, Aa der 

 Fußpunkte der von P resp. P' auf die Seiten von ABC gefällten Senk- 

 rechten sind also dem Dreiecke A^BgCg ähnlich, das eine gleichsinnig, das 

 andere gegensinnig und aus (3) folgt 



wenn f^, p"~ die Potenzen von P, P' inbezug auf, v sind. Ist der Umlauf- 

 sinn von ^0 Bq Cq derselbe wie von ABC, so ist der zugehörige Punkt P 

 für das gesuchte Dreieck A' B' C ein innerer Punkt von v, -ist der Umlauf- 

 sinn aber entgegengesetzt, so ist P ein äußerer Punkt von v, wodurch die 

 Zuordnung in vorhinein bestimmt ist. 



9. Wenn speziell einem gegebenen Dreieck ABC das kleinste gleich- 

 seitige Dreieck A' B' C von gleichem, resp. A" B" C" von entgegenge- 

 setztem Sinn eingeschrieben werden soll, so hat man zu beachten, daß hier 



la sin a = Iß sin ß = ly sin y 



ist, oder wenn wir mit a, b, c die Längen der Seiten von ABC bezeichnen 



la a = Iß b = ly c . (1) 



Aus la : Iß = b : a folgt, daß der Kreis ky durch C geht, also in diesem 

 Punkt den Kreis v orthogonal schneidet. Daraus folgt, daß ky, ä„, kß die 

 Apollonischen Kreise des Dreieckes ABC sind. Ihre Mittelpunkte sind 

 die Schnitte von A B, B C,C A mit den Tangenten an v in C, A, B. Diese 



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