Kreise schneiden sich bekannthch in den isodynamischen Zentren P, P' 

 von ABC. 



■ Wir haben also das Ergebnis: 



Die Fußpunkte der von den isodynamischen Zentren eines gegebenen 

 Dreiecks auf seine Seiten gefällten Senkrechten sind die Ecken der kleinsten 

 gleichseitigen Dreiecke, die man dem gegebenen Dreieck einschreiben kann. 



Wir bemerken nebenbei, daß, wie aus unseren Betrachtungen folgt, 

 die Entfernungen eines isodynamischen Zentrums für ein Dreieck von dessen 

 Ecken proporzional sind zu den entsprechenden Höhen des Dreieckes. 



10. Artet das Dreieck ABC in eine Gerade aus, so haben wir die 

 folgende Aufgabe: 



Man soll durch die Punkte A, B, C einer Geraden die Seiten B'C, 

 C A' , A' B' eines Dreiecks, das einem gegebenen Dreieck ähnlich ist, so legen, 

 daß sein Inhalt ein Maxinmm wird. 



Die Konstruktion selbst bietet nichts Neues. Das gesuchte Dreieck 

 ist ein Tangentendreieck einer Parabel, welche ABC zur Scheiteltangente 

 und D zum Brennpunkt hat. 



Ebenso löst man die Aufgabe: 



£■5 soll die kleinste Strecke zwischen den Seiten eines gegebenen Drei- 

 ecks gezogen werden, welche durch dieselben in einem gegebenen Verhältnis 

 geteilt wird. 



Alle Strecken zwischen den Seiten des gegebenen Dreiecks, welche 

 durcli die Seiten in dem gegebenen Verhältnis geteilt werden, liegen auf 

 den Tangenten einer Parabel, und die fragliche Strecke liegt auf ihrer 

 Scheiteltangente, kann somit als solche leicht ermittelt werden. 



11. Mit diesen Aufgaben verwandt ist die folgende Aufgabe: 



In einer Ebene durch einen Punkt H die kürzeste Strecke zwischen den 

 Schenkeln eines gegebenen Winkels zu konstruieren. 



Diese Aufgabe führt Sturm in der Fußnote auf S. 13 des her- 

 angezogenen Werkes an und bemerkt, daß für die frs gliche Strecke die 

 Lote auf den Schenkeln m den Endpunkten und das Lot auf ihr selbst 

 in H in einen Punkt zusammenlaufen. Zunächst ist diir Grund für diese 

 Behauptung leicht einzusehen, wenn man annimmt, daß ein Minimum 

 tatsächlich eintritt. Dreht sich eine Geiade um H so, daß sich die besagte 

 Strecke verkleinert bis sie in die Älinimumslage kommt, so wird sie sich 

 dann beim weiteren Drehen der Geraden wieder vergrößern. In der Grenze 

 sind also die Strecken auf zwei unendlich benachbarten Lagen der bewegten 

 Geraden einander gleich. Schneidet diese Grenzlage den einen Winkel- 

 schenkel in L, den andern in M, so kann man infolge dessen die Strecke 

 auf ihr in die unendlich nahe Lage durch Drehung um das momentane 

 Zentrum Z überführen. Nun liegt Z im Schnitt der Normalen in L zum 

 ersten und in M zum zweiten Schenkel. Die Senkrechte von Z auf die 

 Gerade selbst gibt den Schnitt der benachbarten Lagen, also den Punkt 

 H, womit die herangezogene Behauptung bewiesen ist. Es ist also Z der 



