punkt und i' die zu ihr inbezug auf die Hauptachse von /j_symmctrisch- 

 liegende Tangente mit dem Berührungspunkte T'. Sind P, Q die Schnitt- 

 punkte irgend eines Kreises durch H und Kq mit unserem Zweig, so ist 

 P Q II f. Die SjTnmetrale s von H Kq ist ein Durchmesser von k und 

 die Symmetrale von P Q ein zweiter, welcher m = ST' innerhalb des 

 Zweiges schneidet. Es liegen somit die Mittelpunkte solcher Kreise durch 

 H und Kg, welche den Zweig in vier reellen Punkten schneiden auf einem 

 Halbstrahl von s, welcher seinen Anfangspunkt im Schnitt von s mit 

 der Normale n' von h in T' hat und auch dem Sinne nach parallel zu 

 S K" ist. Der Winkel /v" H ist ein rechter; ist K' der zu K inbezug auf 

 die Hauptachse von h symmetrisch liegende Punkt, so ist der Winkel 

 S K" K' kleiner als ein rechter, und es liegt K' innerhalb des Dreieckes 

 S Ä'" H, und somit der Strahl S H außerhalb des Dreieckes S K'^ K'. Nun 

 ist SK' II «', weil ja ^ J_ S K^, also S K' _L t' ist ; es liegen also der Mittel- 

 punkt von 5 H und die Normale «', also auch der Punkt n' . s zu entgegen- 

 gesetzten Seiten von 5 K'. Deshalb enthält der Halbstrahl auf s, auf 

 welchem die Mittelpunkte der den betrachteten Hyperbelzweig in vier 

 reellen Punkten schneidenden durch A'" und H gehenden Kreise liegen, 

 den Mittelpunkt von S H nicht. Daraus folgt, daß der über 5 H als Durch- 

 messer geschlagene Kreis k diesen Hyperbelzwcig nur in dem einzigen 

 reellen Punkte Ä'" schneidet. 



Wird also die Hyperbel h von k außer in H und iC" noch reell ge- 

 schnitten (Fig. 8), so geschieht es auf dem zweiten Zweig derselben. Dies 

 ist nur möglich, wenn der gegebene Winkel ein stumpfer ist. Im Falle es 

 zwei weitere Schnittpunkte A'j, K gibt, wollen wir sie so bezeichnen, daß 

 sie auf k in der Reihe H, A", S, K^, K aufeinander folgen. Alsdann, wenn 

 wir eine Gerade um H aus ihrer Minimumslage H A" zuerst über S, dann 

 über A'i und K drehen, wird die auf ihr durch die Geraden, auf welchen 

 die Schenkel des gegebenen Winkels liegen, ausgeschnittene Strecke zuerst 

 beständig wachsen, bis sie unendlich groß wird bei der zu einer Asymptote 

 parallelen Lage, worauf sie beständig abnimmt bis sie auf H S null wird ; 

 von hier wächst sie wieder bis zum Maximum auf H K^, weiter nimmt 

 sie ab bis zum Minimum auf H K, dann wächst sie, bis sie auf der zur 

 zweiten Asymptote parallelen Lage unendlich wird, um weiter bis zur 

 Lage H A" beständig abzunehmen. 



