Inhaltsbestimmung eines Vierseits mit Rücksicht 

 auf sein Maximum oder Minimum. 



Von J. SOBOTKA. 



(Mit 12 Figuren im Text.) 



Vorgelegt am 2G. Juni 1913. 



I. 



1. Der unermüdliche Forscher R. Sturm befaßt sich in seinem 

 Werke „Maxiina und Minima in der elementaren Geometrie" (1910), in 

 welchem er seine selbstständigen diesbezüglichen Arbeiten zu einem 

 schönen Ganzen vereinigt, eingehend mit dem Vergleich eines einfachen 

 konvexen Vierseits mit einem solchen, dem man einen Kreis derart ein- 

 schreiben kann, daß seine Berührungspunkte innerhalb seiner Seiten 

 liegen. Zu diesem Zwecke leitet er eine neue Inhaltsformel für ein belie- 

 biges konvexes Vierseit ab, mit welcher wir uns hier zunächst etwas ein- 

 gehender befassen wollen. Wir wollen ein solches einem Kreise umge- 

 schriebenes Vierseit ein gewöhnliches oder konvexes Tangentenvierseit 

 I. Art nennen oder aber als Tangentenvierseit schlechterdings bezeichnen. 



Die in Frage stehende Formel führt dann Sturm unmittelbar zu dem 

 Satze: 



Von allen konvexen Vierseilen mil gegebenem Inhall und mil gegebenen 

 Winkeln hat das Tangenlenvierseil den kleinsten Umfang. 



Haben die Vierseite umgekehrt außer gegebenen Winkeln einen 

 gegebenen Umfang, so ist der Inhalt des Tangent envierseits ein Maximum. 



Wir betrachten also (Fig. 1) ein solches Tangentenvierseit A BCD 

 und ein konvexes Vierseit A' B' C D' von der Eigenschaft, daß die Winkel 

 des einen gleich seien denen des andern, wobei die Scheitel der gleichen 

 Winkel in beiden Vierseiten mit denselben Buchstaben bezeichnet werden 

 mögen und festgesetzt wird, daß die Reihenfolge der gleichen Winkel in 

 beiden Vierseiten dieselbe ist. 



Wir legen das Vierseit A' B' C D' auf das Vierseit A BC D derart, 

 daß sie mit einem Winkel, etwa B^B' zur Deckung kommen, wobei 

 die Seiten A B, A' B' sowie B C, B' C aufeinander zu liegen kommen und 

 die Winkel der Vierseite gleich bezeichnet werden mit ihren Ecken. In 

 dieser Lage wird A' D' W A D, C D' II C D. Weiter werde gesetzt A B = a. 

 BC = b, CD = c, DA=d. 



