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Di\idieren wir die letzte Gleichung durch (5), so erhalten wir die 

 einfache Beziehung 



c III sin C = d n sin A . 



Deshalb sind die Dreiecke DCC, DA A' einander gleich. 

 Nun ist 



. AADD'=aADA', ADCD'=aDCC', 



folglich sind auch die Dreiecke D' C D, D' A D einander gleich. Da diese 

 Dreiecke die Grundlinie D D' gemein haben, so ist D D' \\ A C. 



Um somit zu einem Tangentenvierseit A B C D irgend ein umfang- 

 gleiches konvexes Vierseit A' B' C D' mit gleichen Winkeln in gleicher 

 Reihenfolge zu ermitteln, ziehen wir durch irgend eine Ecke des Vierseits 

 A B C D, beispielsweise durch D, die Parallele l zu derjenigen Diagonale 

 desselben, welche diese Ecke nicht enthält, hier also zn A C ; auf l wählen 

 wir einen Punkt D' beliebig als Ecke des gesuchten Vierseits, dessen gegen- 

 überliegende Ecke mit B zusammenfällt, während D'A' W DA, D' C'WDC ist. 



Dieses Ergebnis gibt eine einfache Lösung der Aufgabe: 



Zu einem gegebenen konvexen Viereck A' B' C D' ein wnfanggleiches 

 Tangentenviereck A B C D zu konstruieren, welches dieselben Winkel in 

 derselben Anordnung wie das gegebene besitzt. 



Wir schreiben (Fig. 1.) einem der Winkel von A' B' C D' , beispiels- 

 weise dem Winkel A' B' C einen beliebigen Kreis ein und ermitteln für 

 diesen ein Tangentenvierseit A^ B' C,, D^, dessen Seiten B' A^,, B' Cg auf 

 B' A' , B' C zu liegen kommen, während AgD^WA'D', Cq Dq II C Z)'. 

 Durch D' ziehen wir die Gerade / II ^oC,,, welche wir mit BD^ in D 

 schneiden. Die Parallelen durch D zu D' A' und D' C treffen B' A' in A, 

 B' C in C und A B' C D ist das gesuchte Vierseit. 



3. Vergleichen wir nun die Flächeninhalte P, P' von A B C D und 

 A' B' C D'. Es ist, wenn wir die Flächen entsprechend orientieren 



P—P' = A'LDA—CC'D'L 



= A'MDA+DML — CC'D'L 



Da A A' D = CC' D, so ist auch A' M D A =CC' D.^D, wenn die 

 Parallele D D^ zu BC die Gerade CD' in Z).^ schneidet. Somit ist 



P — P' = CC' D.^D—CC D' L + DM L 

 = LD' D^D + DM L, 

 also 



P — P' = MD'D.D. (8') 



Die Seiten von M D' D^D sind in unserem Fall 



