274 



Setzen wir 



u = a + b -[- c -{- d, ti' = a + &' + C + d' , 

 u" = a" + b" + c" + d" , 

 so ist 



Diese Beziehungen gelten allgemein. 



Gehen wir überall zu absoluten Werten über, so sehen wir in unserem 

 speziellen Fall, daß zwei Gegenseiten von A' B' C D' kleiner sind als die 

 entsprechenden von A B C D und zwar ist die Differenz gleich der Summe 

 der zugehörigen Gegenseiten von A" B" C" D", während die übrigen zwei 

 größer sind als die entsprechenden von A B C D und es ist die Differenz 

 gleich der Summe der übrigen zwei Gegenseiten von A" B" C" D". Da 

 für dieses Vierseit die Summe der ersten Gegenseiten gleich ist der Summe 

 der zweiten, so folgt hier, daß 



m' = //, 

 während 



I P I = 1 P' 1 + I P" I ■ 



Nehmen wir also die hier auftretenden Längen absolut, so wird 



a' + c' = (a + c) + («" + c") , 

 b' +d' = {b^-d)T {b" + d") , 



wobei gleichzeitig die oberen oder die unteren Vorzeichen zu nehmen sind 

 Durch Addizion und Subtrakzion dieser Gleichungen erhalten wir 



a' + ^' + c' + d' = u 

 a + c' — b' — d' = — u" 



und mit Rücksicht auf die Gleichungen (11) und (12) in I erhalten wir 



wieder 



1 



P' = 



, . A' + B' . B' + C . C' + A' 

 i sin r sin sin r 



. sin --^ sin -^ sin —j- sin -— (a + b + c + d )- 



A' B' C D' , , ,, . , „,,1 



— cos —^ cos -^— cos —^ cos -^ (a — o + c — « ) • 



Dies ist die von R. Sturm gegebene Formel. 



b) Ein zweiter Unterfall entsteht, wenn (Fig. 9) eine der Seiten von 

 /l'ß'C'Z)', beispielweise A' B', außerhalb des Parallelogramms AoBqCoD^ 

 liegt. Hier liegen also zwei aufeinanderfolgende Ecken .4', B' außerhalb 



