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Unter dieser Annahme gelten hier für die Winkel .4', B' , C, D 

 die Beziehungen 



A' + A = 180», B' + B = 180°, C = C . D' = D. 



Wir erhalten also aus den Gleichungen (11) und (12) in I die Formeln 



.4' B' . C . D' 



cos —^ cos -^ sin -^ sui -— - 



4 . A' ^ B' B'—C C — .4' 



SDl — COS COS 



. .4' . B' C D' 



si n —^ si n — - COS ——- cos — ^ 



P"= - "^ - 1 u' 



4 . A' + B' B'—C C —A' 



siii cos ; cos r 



Bezeichnen wir den Sinn des Umlaufs von P als positiv, so ist 



1 



P' = 



, . A' + B' B'—C C — A' 



4 sin cos T^ cos 



cos 



2 



A' B' . C . D' , ,,, , ' ,.'v' 



—^ cos —— sin — j- sin — — ( — a + o + c + « )•' 



— sin —^ sm —^ cos — ^ cos —^ [a -\- b — ■ c + rf )' . 



c) Der dritte Unterfall tritt ein, wenn alle vier Punkte .4', B' , C , D' 

 außerhalb des Umfangs von AqBqCqD^ liegen, was nicht anders möglich 

 ist, als daß zwei Gegenseiten von A' B' C D' , etwa A' B' und CD', in 

 keiner Winkelfläche von A^ B^ C^ Dq enthalten sind, während von den 

 übrigen jede wenigstens durch eine dieser Winkelflächen geht, weshalb 

 A' B' C D' ein konvexes Viereck ist. 



Hier liefern die Gleichungen (5), wenn wir im Vorangehenden c' durch 

 — c' ersetzen, 



— a' — a = — a", b' — b = b" , — c' — c = — c", d' — d = d" 

 oder 



a' = — a -{- a", b' = b A- b" , c' = — c + c", d' ^= d -\- d" , 

 woraus folgt 



— a' + b' — c' -\- d' = a + b + c -}- d, 

 a' -\- b' -\- c' -{- d' = a" -\- b" + c" + d". 

 Da hier 



A' + A = 180°, B' + B =- 180", C + C = 180°, D' + D -^ 180» 

 so erhalten wir die Formel 



