und weiter 



2 ,1' B' C D' =_A' ßo Co ]4 + 2 p„ A„A' + A* B* C* D* 

 = So Co A A' + D„ A„ A' A + A* B* C* D* ; 

 also schließlich 



2A'B' C D' = A„ ßo Co Du + .4* B* C* D*. 



Da allgemein, mag A B C D konvex, konkav oder überschlagen sein, 

 gilt 



A B C D = C A B + C D A = }, [C A BoCa + A C D, A„] 

 = • (ßo Co C .4 + D, A, Â C) = • B, Co Do A, 

 und ebens ■ 



A" B" C" D" = 1 A *B* C* D* ; 



so erhall wir allgemein 



P' = p j^ P" (4') 



Da A' B' zwischen den Parallelen A* B*, BqCq und BA zwischen 

 den Parallelen B^Cq, A C, während A" B" zwischen den Parallelen A* B* ^ 

 A C enthalten ist, da weiter B' C zwischen B* C*, Do,Co und C B zwischen 

 den Parallelen Do Cq, B D, während B" C" zwischen den Parallelen B* C*, 

 B D enthalten ist, da ferner analog C D' zwischen C* D*, Do A^, und 

 D C zwischen den Parallelen Do, Aq, C A enthalten sind, während C" D" 

 zwischen C* D*, C A liegt und schließlich da D' A' zwischen D* A*, A^ B^ 

 und A D zwischen A^Bg, DB liegen, während die Seite D" A" zwischen 

 D* A*, BD sich befindet, so gelten allgemein die Beziehungen 



A' B' + B A = A" B", B' C + C B = B" C", 



C D' + DC = C" D", D' A' + A D = D" A". (5') 



10. Ziehen wir nun alle sechs Fälle von einfachen einem Kreis um- 

 geschriebenen Vierseiten in Betracht (Art. 7) und drücken zuerst die 

 Flächeninhalte P dieser verschiedenen Kreisvierseite aus. 



Fall 1. (Fig. 6.) 



Wir setzen A B = a, B C = b, C D = c, D A = d. Es ist also 

 a — b -\- c — d = 0, während wir für den Flächeninhalt dieses Falles die 

 Ausdrücke gefunden haben 



. A + B . B + C . C + A 

 sm sin r sin r ■ 



' . .4 . ß . C . D 



sin —— sm —^ sin —^ sin —^ 



. A . B . C . D 

 sin -^ sm — sm -^- sm — 



^-= , . A+B . B + C . C + Ä ^'^' + ' + '^'- 

 4 sm r sin sin ; 



