^ , . A' + B' . B' + C . C + A' 

 4 sin ;; sin sin 



I sill — — sm — — - sin -;r- sin — — [a +0 -f- c + d )- — 



— cos ——- COS ■—— COS —J- COS —- (a — -f- c — " )" I ■ 



wobei das erste Glied in der Klammer stets positiv, das zweite negativ ist, 

 man also immer die absolute Svnnme der Glieder erhält. 



Dies gibt das folgende Resultat. 



Haben konkave Vierseite gleiche Winkel in gleicher Anordnung und 

 gleichen Umfang, so ist unier ihnen dasjenige, welchem man einen Kreis 

 auf die dem Falle 2 entsprechende Art einschreiben kann, am kleinsten. 



Tatsächlich wird P' = P, wenn a' — b' -\- c' — d' = 0, d. h. wenn 

 P' ein derartiges Kreisvierseit wird. 



Gehört das Kreisvierseit dem Falle 5 an imd ist es sonst in gleicher 

 Beziehung mit A'B'C'D', so ist gleichfalls bei positivem A BCD 



P' =P+ \P" I 

 und 



P' = - ' 



A' + B' B' + C . C + A' 



4 cos cos ■- sm 



f . A' B' . C D' „ 



— sm —-^ cos -—- sm —^ cos —-^ [a — — c -\- d )- 



A' . B' C . Z)' , _ ,, , ,,1 



+ cos — — - sm —— cos — — sm —^ [a -\- — c — ^ )" I . 



wobei das erste GUed in der Klammer stets positiv, das zweite aber ne- 

 gativ ist, so daß der Klammerausdruck gleich der Summe dieser Glieder, 

 aber negativ ist; da aber der Nenner des Ausdrucks immer negativ ist, 

 so ist der ganze Ausdruck rechts positiv. 



Haben also konka\-e Vierseite gleiche Winkel in gleicher Anordnung 

 und ist für ihre Seiten a', b', c', d', welche so aufeinander folgen, daß b', c' 

 den einspringenden Winkel einschließen, die Summe der Differenzen der 

 gegenüberliegenden Seiten (a' — c') + {d' — b') konstant, so ist dasjenige, 

 dem Fall 5 angehörende, unter ihnen das kleinste, welchem man einen 

 Kreis einschreiben kann. 



Man sieht aus der letzten Formel, daß P' tatsächlich ein ^Minimum 

 wird, wenn 



a' + b' —c' — d' = 0. 



