über extreme eingeschriebene Vieleci<e. 



Von J. SOBOTKA. 



(Mit 8 Figuren im Text.) 



Vorgelegt am 15. Juli 1913. 



1. Wir betrachten irgend ein einfaches Vieleck A-^A^... A„ und 

 ein ih:n in allgemeiner Weise eingeschriebenes Vieleck B^B^. . . B„, so daß 

 also seine Ecken B/,. . . . beliebig auf den Geraden Ai, Ak+i, . . . liegen. 



Wir wollen die Seitenlängen von B^B^. . . Bn inbezug auf das Vieleck 

 A^A^ . . . An orientieren und zwar derart, daß wir zwei aufeinanderfol- 

 gende Seiten ß*_i Bk, Bk ß*+i mit gleichen oder entgegengesetzten Vor- 

 zeichen behaften, jenachdem sie sich auf derselben Seite oder zu ver- 

 schiedenen Seiten der Geraden Ak Ak+i, auf welcher ihre gemeinsame 

 Ecke liegt, befinden. Wählt man also das Vorzeichen irgend einer Seite 

 von B^B^ ■ . .Bn behebig, so ist hiemit das Vorzeichen aller nachfolgenden 

 Seiten der Reihe nach bestimmt. Eine Nichtübereinstimmung könnte hier 

 bei der ersten und letzten Seite eintreten. In einem solchen Falle fassen 

 wir B^B^. . . Bn als ein 2 «-Eck von zwei zusammenfallenden Umläufen 

 auf, so daß jede Seite dieses Vielecks zwei verschiedene Vorzeichen besitzt, 

 von denen eins dem ersten, das andere dem zweiten Umlauf angehört. 

 Die algebraische Sunuue der so orientierten Seitenlängen woUen wir als 

 Umfangslänge des inbezug auf A^ A.^. . . An orientierten Vielecks B^B^. . .Bn 

 definieren und mit u bezeichnen. Die Seiten Ak Ak+\, . . . bezeichnen 

 wir mit ak,k+\. ■ ■ ■ und die mit entsprechenden Vorzeichen versehenen 

 Seiten Bt Bk+\, . . . bezeichnen wir mit bk, k+i, . ■ ■ 



Wir wollen die Fälle der Vielecke von ungerader Seitenzahl und \'on 

 gerader Seitenzahl getrennt behandeln, da das Verhalten der eingeschrie- 

 benen Vielecke in beiden Fällen verschieden ist. 



2. Es sei zunächst ^^ /l, . . . Az„ + i ein einfaches Vieleck erster Art, 

 von ungerader Seitenzahl, ohne daß es aber ein konvexes sein müßte. Die 

 Winkel desselben an den Ecken Ak, . . . seien mit «*,... bezeichnet. 



Es ist hier 



"'^'a* = (2n— l)3r. (1) 



Wenden wir (Fig. 1) das Vieleck P^ = Aj^ A2 . . . A-in+i um die Seite 

 A^Ao um, wodurch es in die inbezug auf A^A^ symmetrische Lage 

 -^2 = (-^1 A^ . . . Aon+i)^ gelangt, aus welcher wir es durch Wendung um 



