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(A^,' Ag').,, ■ ■ ■ Ai'n + iAi" in den zugehörigen Punkten C,„ + i, Q, (C^, 

 (C3),... (Qn+i), (Ci), (C^'),... {C-2n+-.) schneiden. Die algebraische Summe 

 der Strecken C-zn + iC^, Q {C„),. . . (Co,,), [C-in+i) ist^) gleich A^A^'. Bringen 

 wir durch Rückwärtswendungen von P'-zn + x angefangen die Polygone 

 sukcessive in vorhergehende Lagen, bis sie schließlich alle mit P^ zusammen- 

 fallen, so gelangen die Punkte (C,), (Cg) . . . (Q'j + i) nach C,, Cg, . . . Co', + 1 

 auf Pj. Da die Vektoren A-^'{C2„ + 1 ), A^C-zn + i gleich sind, so wird Q',, + 1 

 ^Con + i und wir erhalten so ein geschlossenes, dem Vieleck A-^^A^... 

 A-zn + \ eingeschriebenes Polygon C■^C„ . . .C'in+ \ Q' C^' . . ■ C'i,, C2,, + 1 Q 

 von zwei Umläufen. Jenachdem in der Umklappung zwei aufeinander- 

 folgende Strecken Ck-^ Ck, Ck, C^-i gleichgerichtet oder entgegengesetzt 

 gerichtet sind, liegen sie nach der Rückwendung um Ak Ak + \ auf der- 

 selben Seite oder zu entgegengesetzten Seiten dieser Drehachse. Es ist 

 deshalb die algebraische Seitensumme n gleich A-^ A^". Dieselbe ist also 

 für alle solche Vielecke, die in der Umklappung durch Parallele zu A-^ A^" 

 zwischen A-^Aon + i, A^" Ai„+, dargestellt werden, gleich und sie ist für 

 alle eingeschriebenen geschlossenen Vielecke mit zwei Umläufen ein Mi- 

 nimum, weil diese Parallelen die kürzesten Verbindungen zwischen je zwei 

 kongruentliegenden Punkten auf den Strecken A^^A-zn + i und A^ ^42,. + 1 

 und ihren Verlängerungen sind. Die Lage jeder Seite CkCk +1 erhält man 

 aus derjenigen der unmittelbar vorhergehenden durch Reflexion an der 

 Seite Ak Ak + 1. Die Strecken A^^ A^, {A^ As)^, (/I3 ^4)3, . . . {Ao,, + 1 .4 1)2,, + 1, 

 ^i'^i bilden einen geschlossenen Streckenzug Z:^; ebenso bilden die 

 Strecken ^/ AJ, {A^' As')^, [A^' Ai)^, . . . (.42,, + 1 .4i')2„ + 1, A^' A{ einen 

 solchen E^_. Führt man mit dem ersten eine Wendung um irgend eine 

 Gerade seiner Ebene durch und verschiebt ihn dann so, daß A-^ A-l mit 

 A{ A{' zur Deckung kommt, so wird sich der ganze Streckenzug alsdann 

 mit dem zweiten vollständig decken. Daraus folgt, daß irgend zwei 

 sich entsprechende Strecken dieser beiden Züge gegen A^ A^' antiparallel 

 sind. Demzufolge sind auch die Dreiecke der Paare (G _ 1) (J*)* (C*), 

 (C'*_]) {Ak)k. {C'k) einander ähnlich so daß C'k-i Ck' II Ck-i Ck- Es ist 

 also der eine Umlauf des eingeschriebenen Vielecks parallel zum zweiten. 

 Da auch ebenso A.^A2„+-[, J/ J'2,,+1 wie .4/ A'-zn+uA^' AÏn+i inbezug auf 

 Ai A^" antiparallel sind, so wird die Gerade h, welche die Entfernung 

 des Punktes A-^' von der Geraden A-i A^" halbiert, die Geraden ^2„+i A-^. 

 A,A^. (^2^3)2, (^3^4)3, ■ • • {AkAk+i)k, . . . {A'2.^1 A,'), A' AI, {A^ A^\, 

 . . . (Ak A\+-^k, ■ ■ ■ A^în+\ AI' entsprechend in den Punkten . . . Htn + \, 

 H„ (H,), {H,), . . . (Hk), . . . (fl-'2„.i), {H,'). {H:), . . . {Hk'), . . . (i/2,.,,) 

 so schneiden, daß die folgenden Gleichheiten der Teilverhältnisse bestehen' 



(^2„+i A, Ho..,,) = [^'2„.i A,' (/f'2,, + 1)] = [^2,, + , -4/' {H':„,r)] 



{A,A2H,) = [A,'A,'{H,')] 



[{Ak)k (Ak,,)k {Hk)] = [{Ak')k {A'k,i)k [Hk')]. 



M In der Figur 1 soll (C/). (C/') statt {C,). (C/) stehen. 



