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Daraus folgt, daß beim Rückwenden der Dreiecke die Punkte i/2„+i, 

 H'2n+i, Ho'n+i in einen Punkt Hin+i, ebenso die Punkte H^, H-^, ferner 

 allgemein die Punkte Hk, Hk zusammenfallen. Es fallen also die beiden 

 Umläufe des eingeschriebenen Vielecks zusammen, und wir erhalten das 

 einzig möghche eingeschriebene (2 » + 1)-Eck, für welches die Summe u ein 

 Minimum wird. 



Denn wählen wir auf A-^ Ao,„+i und A^ A'2„+i die Punkte P, Q so 

 daß die Teilungsverhältnisse {A^Ain+iP), {A^' A'z^+iQ) einander gleich 

 sind, so erhalten wir durch Rückwendungen ein einfaches (2w + l)-Eck, 

 welches dem gegebenen eingeschrieben ist und dessen algebraische Seiten- 

 summe gleich PQ ist. Für verschiedene Werte dieser Teilungsverhältnisse 

 werden die entsprechenden Geraden PQ eine Parabel umhüUen, welche 

 Hin+i H'in+i zur Scheiteltangente hat. Da auf dieser durch Ay ^2,1+1, 

 Ai A'-in+\ eine Strecke abgeschnitten wird, die kleiner ist als die auf 

 jeder anderen Tangente ausgeschnittene, so sieht man, daß das vorher 

 erwähnte (2m + 1)-Eck H-^H.^.- ■ • ^'2,1+1 tatsächlich die kleinste algebraische 

 Seitensumme besitzt. 



4. Wählen wir A^ A^" als die positive Richtung der ,ï-Achse und die 



durch ihre Drehung um A^ um — im positiven Sinn erhaltene Richtung 



als positive y-Achse, und drücken die Ecken des Streckenzuges durch 

 komplexe Zahlen aus, so wird, wenn wir die Strecken A^ A-^', A^ A^, 

 . . . Ak Ak+i . . ■ mit s, «12, . . • «M+i' • • • bezeichnen, 



s £-'">= e^Pjßia — a^e'"'+ «34 e*!««-«-' — . . . — a-zk.zk + i e*i««-«'+"--^''2*ï 

 + a2Ä+i,2*+2e't«'~"''"'---~ "-* + !' — • ■ • +«2„ + i.i <;<[«=-«•+••• -«2'«+ii}, (3) 

 und außerdem ist 



= e'^la^^ — a^se-'"'- + «34 •<-«■-«•' — . . . — a2A,2ft + i e'(-«.-«»-----«2Ä) 

 + a2*+i,2ft+2e'(-«'-«'----«2ft+i' — . . . + a2„+i,ie''«'-«'+---«2"+''}. (4) 



Die Gleichungen (3) und (4) können wir abgekürzt auch schreiben 



s e-'<-= e'^ I «12 + 2; [ — a-ik.zk+i e'(«=-«»+ ••■+«2*) 



l A = l 



+ a2ft + i.2ft + 2e'<««-«' + ---«2* + i']|, 



i' 



+ fl2ft + 1.2* + 2e''-'"-«>--"-«2t + l)]|, 



wobei 1 statt 2m + 2 zu setzen ist. 



Durch Subtrakzion der ersten dieser Gleichungen von der zweiten 

 erhalten wir da 



