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.4j", Aj"' , . . . auf dem Kreise k liegen und es wird Aj^ A^' = A^ A^" = 



Ai'A^'",.., und die Geraden A-^'A-^", ^Z' ^i'", . . . .4/)^ii*+i' 



werden mit Aj^ A^' entsprechend die Winkel ß, 2 ß, . . . k ß, bilden. 



Allgemein wird der regelmäßige Streckenzug sich nicht schließen, sondern 

 nur dann, wenn es ein Vielfaches von ß gibt, welches zugleich ein Viel- 

 faches von 2 3r ist . 



In dem Falle, wenn es eine ganze Zahl s gibt, für welche s ß ein Viel- 

 faches, etwa das r-fache von 2 jr wird, wird A,}^^ ^ A^ und das Polygon 

 -P(s + u wird mit P^ zusammenfallen. In diesem Falle sei s die kleinste Zahl, 

 für welche sß ein Vielfaches von 2 a- ist, so daß r und s relativ prim sind und 



/Î =2:0:24— 2;«2ft_l = 2 — TT. (6) 



k=l k=l S 



Dadurch erhalten wir ein regehnäßiges s-Eck AiAi'Ai"...Ai, 

 welches dem Kreise k eingeschrieben ist ; ß ist die Größe der Außenwinkel 

 für dieses Polygon und die Summe sämtlicher Außenwinkel desselben 

 ist s ß = 2 r 7C. Daraus folgt, daß dieses Polygon ein solches von der Art r ist. 



Da {A-zn+i Ai)s+i^ A-zn+i A-^, so folgt daraus, daß wenn wir irgend 

 einen Strahl an irgend welcher Seite des 2 ;j-Ecks A^^A^. . . Ao„ reflektieren 

 lassen, den reflektierten wieder an der nächstfolgenden Seite reflektieren 

 lassen und in dieser Weise fortfahren, so erhalten wir schließlich ein 

 dem 2 w-Eck eingeschriebenes geschlossenes 2 n s-Eck mit s Umläufen 

 von je 2h Seiten; die algebraische Summe der Seiten dieses 2 «-Ecks ist 

 gleich Null. Ein Minimum in unserem Sinne hat hier also nicht statt. 



6. Soll speziell das eingeschriebene 2 «-Eck B^B^ . . . B^n ein kon- 

 vexes und dem 2H-Eck A^A„...A-2n im engeren Sinne eingeschrieben 

 sein, also so, daß jede Ecke Bu auf der Seite Ak Ak + i liegt, so müssen 

 die Beziehungen gelten, wenn wir die Winkel dieser Polygone mit ßk, 

 resp. Uk bezeichnen. 



It — t) + It — 2^) = ^-cck^i 



oder 



ßk + ßk+i = 2ak + i, 



so daß also der Reihe nach man erhält 

 ßi + 



2:ßk = 2 2-'ao,_, =2 2: «2;. 

 oder 



^ cc-ii — 27 «2^-1 = 0. 



