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 Da nach (1) und (2) 



IT Ë= -U '^'^ T7' V — "'^^ _L ^^ 



F~F = ±^, F _F = + _= + _. 



so folgt hieraus, daß der Flächeninhalt F einen extremen Wert besitzt 

 und ein Maximum oder Minimum ist, jenachdem ob im ersten Fall 

 ff < oder ff > 0, im zweiten Fall aber ff > 0, resp. ff < ist. Zwei Poly- 

 gone B, B', welche von B gleich weit abstehen, d. h. bei denen die Ent- 

 fernungen zugehöriger Seiten durch die Seiten von B halbiert werden, 

 haben gleichen Inhalt. 



Die Konstrukzion von B ist durch unsere Betrachtungen auch schon 

 gegeben. Man zieht in der Figur der Wendungen zwei zu A^ A^' parallele 

 Geraden zwischen A^^A^, A^' A^', etwa A^A^, A^A^ selbst, auf denen 

 durch die aufeinander folgenden Drehachsen ^^ A^, (^^ ^3)2. • • • • ^1' -^2'« 

 Strecken ausgeschnitten werden. Auf jeder von den zwei Geraden bilden 

 wir die algebraische Summe der an imgeraden sowie der an geraden Stellen 

 liegenden Strecken, die so entstehen, und ziehen diese von jener ab. 

 Dadurch gelangen wir zu zwei Endpunkten, deren Verbindungsgerade A-^^ A^ 

 in ßj schneidet, wodurch B festgelegt ist. 



9. Es sei ferner ein Polygon mit ungerader Seitenzahl gegeben. 

 Ein ihm eingeschriebenes Minimalpolygon von zwei Umläufen werde 

 £/ B2' . . . Bin+i B^" B^" . . . Bz'n+i B^ bezeichnet. Bezeichnen wir weiter 

 die Seiten Bk ß^ + i . . . mit &*,* + !, Bk" B'k'+i . . . mit Klk + i ■ ■ ■ und den 

 Flächeninhalt mit F ; für das Minimalpolygon von einem Umlauf 

 B^B^ . . . Bin + i By setzen wir Bu Bk + i gleich hk,k + i und den Flächen- 

 inhalt gleich F. 



Bilden wir F — '2 F, was geschieht, wenn wir B^B^ . . . B^n+i im 

 entgegengesetzten Sinne von B^' B^' . . . Bin+i B^" . . . B'z'n+i zweimal 

 durchlaufen, und die so entstandene Figur durch die Strecken ß^' B^, 

 B^ jBj, . . . Bi„+i Bin+i ; ß/' B^, B^" B^, .... Bî'n+i ß2»+i, denen wir 

 beiderlei Sinn erteilen, in Teilfiguren zerlegen. Bei der früher getroffenen 

 Orientierung der Seiten bekommen wir, wenn wir die konstante Entfernung 

 entsprechender Seiten der beiden Umläufe des ersten Polygons mit 2 h 

 bezeichnen und absolut nehmen, 



F-2F = ^h\ (b,, + b\,) - (6,3 + b\J + ... + (02 ,.+1,1 + bl,,,, 1) - 



also 



-9.P = 



2 



2 

 (Ö12 + b{^ + {b,, + bi'i) — ... — (i2« + i,i + b■2,.^^.l)\, 



F — 2F = ~h (b\,~b\^+ è'3, -. . + bL.1.1 - b'A + bü-. .- Ô2W1.1) 



Führen wir auch hier ein Parallelkoordinatensystem ein mit A^ als 

 Anfangspunkt und ^^ .-l, als positiver Richtung der A,'-x\chse und setzen 



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