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eine gerade oder ungerade Zahl sein, durch Drehung um den festen Punkt S 

 aus jedem andern erhalten, und die Größe der entsprechenden Drehung ist 

 gleich der Drehung, durch welche man die zugehörigen Vielecke in der Reihe 

 Pj, P/, Pj", . . . Pf ~ '' in einander überführen kann. Die übereinstim- 

 menden Ecken auf P^, P*, . . . P^ ~ ^' sind somit die Ecken eines regel- 

 mäßigen Polygons derselben Art und mit demselben Mittelpunkt, wie 

 A^Ai . . . A'i^^\ Schreiben wir dem Vieleck P^ ein Minimalvieleck ein, 

 d. i. ein solches Vieleck, für welches die algebraische Seitensumme gleich 

 NuU ist; diesem Vieleck kann man in s Teile zu je 2« aufeinander 

 folgenden Seiten teilen. Als ersten Teil (1) wählen wir beliebige 2« auf- 

 einander folgende Seiten; drehen wir ihn um einen Winkel, welcher gleich 

 dem Einfachen des Winkels £ = A^SAi aber mit ihm entgegengesetzt 

 gerichtet ist, dann sind die Seiten des zweiten Teils (2) der Reihe nach 

 parallel zu den Seiten des gedrehten Teiles (1); führen wir eine Drehung 

 um den doppelten Winkel durch, also um — 2«, dann sind die Seiten 

 des dritten Teiles (3) der Reihe nach parallel zu den Seiten der zweiten 

 Drehung von (1) u. s. w. 



Jede gerade v in den Wendungen geht durch Rückwendungen in ein 

 derartiges 2Hs-Eck über; ist s = 2m eine gerade Zahl, dann geht die zu v 

 durch S gezogene Parallele i-'o in ein 2;u«-Eck über, dessen Seiten die Ent- 

 fernungen der zugehörigen ParaUelseiten des 2«s-Ecks halbieren. 



Bezüglich der Vorzeichen möge noch Folgendes bemerkt werden. Die 

 durch die letzte Formel ausgedrückte Fläche setzt sich aus verschiedenen 

 Trapezen zusammen. In der durch die vorgenommenen Wendungen her- 

 vorgerufenen Abwickelung der Polygone B, B,. . . in zwei parallele Geraden 

 reproduzieren sich diese Trapeze auch dem Sinne nach; die Summe der einen 

 Hälfte derselben wird durch das Parallelogramm dargestellt, welches durch 

 diese Geraden und durch A^ A^, ^1'"' ^2"" begrenzt wird; von ^T ^2"" an 

 ändert sich der Sinn der zweiten Hälfte der gewendeten Polygone gegen- 

 über dem der Reihe nach entsprechenden, gewendeten Polygone der ersten 

 Hälfte; also ändert sich auch bei Ai"'' A^"^ der Sinn der Trapeze, so daß 

 die Summe aller dieser Trapeze gleich Null ist, wie auch aus der Flächen- 

 darsteUung: 



4 [{b'l2 +Vr2) + (4 +%s) +... + (hn.^ +%n.l) + • • - + (&lr"-M + 



+ (bS"'' - M + . . . + {b^:i' -%..,i) + ■■■ + (Ci -^^':^.i) ] 



ersichtlich ist, da ja die algebraische Summe der Seiten von B gleich 

 Null ist. 



Drücken wir, analog dem Früheren, in einem Parallelkoordinaten- 

 system für 



A, ß/ = r, i^'<?<*' = r/ 



k = l 



