die Punkte (|', t]') aus, so werden dieselben bei veränderlichem B^' eine 

 Gerade g beschreiben, welche die Seite A^ A^ in dem Punkte B^ schneidet. 

 Denn fällt der Punkt B-l nach ßf '"' also mngekehrt fiij-'"* nach B\, so 

 wird, wenn wir die erste Seite h\,^ von B stets positiv nehmen, der Wert 

 von r\' für das eingeschriebene Polygon — Z' <>(*'. 



Nehmen wir aber für die auf der einen Seite von öjj gelegenen Seiten 

 das positive, für die auf der anderen das negative Vorzeichen, so sehen wir, 

 daß die Vielecke B, indem sie sich an B beiderseits nähern, entweder be- 

 ständig abnehmen oder beständig wachsen. Es hat also 2 F inbezug auf aUe F 

 einen extremen Wert. 



11. Die durchgeführten Betrachtungen gelten allgemein, also für 

 alle Vielecke A-^^A^. . . ausnahmslos. Wir legen dem Vieleck stets einen 

 bestimmten Umlaufsinn bei und wählen eine bestimmte Drehung in der 

 Ebene als positiv. Mit Rücksicht auf diese Festsetzungen bezeichnen wir 

 dann als Innenwinkel des Vielecks jeden der Winkel «*, um den je eine 

 gerichtete Seite des Vielecks im positiven Sinne gedreht werden muß, um 

 mit der negativen Richtung der vorhergehenden Seite zusammenzufallen. 

 Ist nun a die Art des Vielecks, k die Zahl seiner überstumpfen Winkel, 

 so ist bekanntlich für ein 2 h + 1-Eck 



somit 



Z «; = 2 [n + k — a]n +:n:, 



7 = 1 



2 i" aoi = £ a-zt — Z! «oz+i + 2 {n -{- k — a) n + n , 

 /=! /=i ;=o 



und für ein 2 n-F-ck 



i: a, = 2 {n + k — a) 71 , 

 1=1 



omit 



2 I" «2/= i:a2, — i:«^;-! + 2 (;;• + k — a)7T. 

 1=1 1=1 1=1 



Also gilt das früher für einfache Vielecke mit ungerader oder gerader 

 Seitenzahl Abgeleitete unbeschränkt für irgend ein derartiges Vieleck be- 

 liebiger Art. 



12. Machen wir einige Anwendungen unserer Erörterungen auf ein 

 Kreisviereck. Vier Punkte auf einem Kreise bilden ein vollständiges Viereck, 

 in dem drei einfache enthalten sind ; ein konvexes und zwei überschlagene. 

 Bezeichnen wir (Fig. 4) die Ecken des konvexen der Reihe nach mit A^, 

 ^2.^3,^4; ist A^' =^ A^, A3 = A„. Ai" = As, A3" = Ai, so sind .4 A^' 

 A3' A^.AyA^AÎ' AÎ' die beiden überschlagenen. Die Ecken des Diagonal- 

 dreiecks für das vollständige Vier seit seien I = A^ A^ . Ao A i, 1 1 = A^ A3 . 

 Ao Ai, III = A1A3" . AoAi'. Jedes der drei einfachen Vierseite geht 

 unseren Ableitungen gemäß durch vier um die ihrer Reihe nach aufein- 

 anderfolgenden Seiten vollführten Wendungen in eine Lage über, welche 



