Ebenso sclijießen wir, daß wenn der Strahl M Q ^ L M auf A^ A^" ^ 

 Ai A3 oder A^" AI' ^ A^ A^ auffällt und an einer dieser Seiten stets bis 

 zur nachfolgenden Seite des Vierseits ^i/lj^s"^/' und von hier weiter 

 gebrochen wird, er nach einmaligem Umlauf in seine ursprüngüche Lage 

 zurückkommt und ein dem Vierseit A^^ A^ A^" A'\ eingeschriebenes Vier- 

 seit bildet, für welches u" den Minimalwert 2MQ besitzt. 



Schließlich wenn derselbe Strahl L Q ^ L M auf A^A^ oder A^A^ 

 auffällt und an einer dieser Seiten bis zur nachfolgenden Seite des Vierseits 

 Ai A^AgA^ und von da ab weiter gebrochen wird, so kehrt er nach ein- 

 maligem Umlauf in seine ursprüngliche Lage zurück und bildet ein dem 

 Vierseit A^A^A^A^ eingeschriebenes Vierseit, für welches u den Minimal- 

 wert 2LQ hat. 



Aus dieser Konstruktion ersehen wir, daß diese drei eingeschriebenen 

 Vierseite zusammen in einem einzigen vollständigen Vierseit enthalten 

 sind. Wir werden dadurch zu dem Ergebnis geführt: 



Das vollständige einem Kreise eingeschriebene Viereck enthält drei ein- 

 fache Vierseite. Ein Minimalvier seit, welches man einem derselben einschreibt, 

 bildet, als vollständiges Vierseit aufgefaßt, zwei weitere einfache Minimal- 

 vierseite, von denen jedes je einem von den zwei übrigen aus dem vollständigen 

 Kreisviereck gebildeten Vierseiten eingeschrieben ist. 



Man gelangt so zu vollständigen Vierseiten, welche dem vollständigen 

 Kreisviereck eingeschrieben sind und deren Zustandekommen auch daraus 

 hervorgeht, daß die Ecken des Kreisvierecks Mittelpunkte von Kreisen 

 sind, von denen jeder drei Seiten des eingeschriebenen Vierseits berührt. 



Die Gerade L M Q ist parallel zu den Verbindungsgeraden der Fuß- 

 punkte der Senkrechten von // auf A^ A^" , A^ A^, von III auf A3" A^", 

 Ai AI' und von / auf A^ A^, A.^ A^. 



Die den aus dem vollständigen Kreisviereck gebildeten einfachen 

 Vierseiten eingeschriebenen einfachen Vierecke, deren Seiten die Fuß- 

 punkte der Senkrechten von dem jeweiligen Diagonalschnitt eines solchen 

 soeben erwähnten einfachen Kreisvierseits verbinden, gehören mit zu den 

 Minimalvierecken und da jedes von ihnen einem Kreise von Mittelpunkte // 

 resp. III oder / umgeschrieben ist, so liat sein Flächeninhalt einen extremen 

 Wert, wie bei einer andern Gelegenheit gezeigt worden ist.^) 



13. Werden die Indices von A^A^A^A^ zykhsch vertauscht, so 

 führen die soeben entwickelten Konstruktionen zu drei neuen zu L M Q 

 analogen Geraden; schreiben wir statt L,M,Q jetzt Z'-', M<'-', Ç'-' und 

 berücksichtigen wir die analogen Geraden mit den auf ihnen zu D^\ M<-', Ç'^> 

 analogen Punkten D^\ M(3), Ç<'', !-<*', Mi*', Ç(*), m, M^^), Çl^) ; diese Reihen 

 von je drei Punkten sind zu einander kongruent und ihre Träger li.hJiAy. 

 sind parallel zu den Seiten der eingeschriebenen ]\Iinimalvierecke. 



') Bulletin international... 1913: ..Inhaltsbestimmung eines Vierseits mit 

 Rücksicht auf sein Maximum oder Minimum". 



