ferner im Brennpunkte / die Senkrechte zu diesem Vektor, dann ist der 

 Ort des Schnitt punktes v dieser Senkrechten mit jener Tangente die Polare 

 D des Brennpunktes / ; dieselbe Konstruktion also, die für den Kreis und 

 einen beliebigen Punkt eine Quartik gab, liefert hier eine Gerade. 



Die Berührungskegel können wir zur Lösung der Aufgaben benützen : 

 a) Tangentialebene in einem Punkte der Fläche konstruieren, ß) Schein- 

 baren Umriß konstruieren, y) Schattengrenze bestimmen. 



Die Ziklide als Kugelenvelloppe: 



Aus dem vorstehenden Satze 2. folgt: 



Bewegt sich eine veränderliche Kugel so, daß ihr Mittel- 

 punkt 03 den Grundkegelschnitt beschreibt, und daß dieselbe 

 stets durch den Brennpunkt / dieses Kegelschnittes geht, 

 dann umhüllt diese Kugel unsere Ziklide. 



Betrachten wir den Brennpunkt als eine Nullkugel, so gelangten 

 wir wieder zu einem Spezialfall der Erzeugung einer Ziklide, die Dar- 

 boux*) angibt. 



Da diese Kugeln, deren Mittelpunkte auf einem Kegelschnitte sind, 

 zwei andere Kegelschnitt berühren, nämlich den Brennpunkt /, als Null- 

 kreis betrachtet und den Kreis B, so ist ihre Envelloppe eine besondere 

 Dupin-sche Ziklide. 



Eine andere Erzeugung der D up in- sehen Ziklide ist in dem be- 

 kannten Werke von Rohn und Papperitz angeführt.**) 



Wenn wir berücksichtigen, daß jede Rollkurve auf unserer Ziklide 

 der Schnitt eines Rotationskegels ist, dessen Scheitel der Brennpunkt / 

 ist und einer Kugel, deren Mittelpunkt der andere Brennpunkt g ist ; 

 ferner daß jedem Werte <li ein einziger Kegel und eine einzige Kugel 

 zugehört, die also auf einander projektiv bezogen sind, so können wir 

 auch den Satz aussprechen: 



Unsere speziellen Dupin-schen Zikliden sind das Er- 

 zeugnis eines Büschels konzentrischer Kugeln (mit dem 

 Mittelpunkte g) und eines projektiven Büschels koaxialer 

 und konzentrischer (Mittelpunkt /) Rotationskegel, deren 

 Axe senkrecht zu der Verbindungslinie fg ist. 



Die Krümmungslinien unserer Zikliden. 



Da die Normalfläche unserer Ziklide längs eines Kreisschnittes ein 

 Rotationskegel — also eine de^•elloppable Fläche ist, so ist unmittelbar 

 ersichtlich: 



*) Darboux I. c, pag. Iö4. 

 **) Rohn u. Papperitz: Vorlesungen über darslellende Geometrie, 3. 

 Band, 1906, p. 283—289. 



