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Die Kreisschnitte aller vorangehenden Zikliden sind 

 Krümmungslinien unserer Flächen. 



Die Krümmungslinien zweiten Systems sind also Orthogonaltrajekto- 

 ricn dieser Kreisschnitte, und wir finden dieselben in folgender Weise: 



Betrachten wir eine beliebige Kugel, welche im Brennpunkte / die 

 Ebene des Grundkegelschnittes berührt ; ihr Mittelpunkt s ist also auf 

 der in / zur Grundebene errichteten Senkrechten, also auf der -gemein- 

 schaftlichen Tangente aller Kreisschnitte im Punkte /. Die Ebene eines 

 jeden Kreisschnittes der Fläche schneidet die Kugel in einem Orthogonal- 

 kreise zu jenem Kreisschnitte. Die beiden Kreise schneiden sich also in / 

 und noch einem Punkte q unter rechtem Winkel, oder der Halbmesser 

 des einen Kreises ist die Tangente des anderen Kreises und umgekehrt. 

 Ziehen wir aus s Tangenten zu allen Kreisschnitten der Fläche, so sind 

 die Längen aller dieser Tangenten gleich s /, und ihre Berührungspunkte q 

 legen auf der angenommenen Kugel, welche alle Kreisschnitte der Fläche 

 orthogonal schneidet. Betrachten wir die Berührungspunkte q, r auf zwei 

 unendlich nahen Kreisschnitten, deren Ebenen den Winkel A © ein- 

 schließen, dann ist q r s ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Winkel bei s 

 mit A a bezeichnet werde, und dessen Winkel an der Grundlinie ;' q 



90 — sind. Wenn A 9 = 0, so ist auch A a = und zugleich wird q r 



Tangente an die Schnittlinie der Kugel und der Ziklide und ist dann senk- 

 recht zur Tangente s q des angenommenen Kreisschnittes ; da dieses 

 Resultat für alle Punkte der Schnittkurve gilt, so ist dieselbe die gesuchte 

 Orthogonaltrajektorie. Wir haben also den Satz: 



Der Kugelbüschel der in / die Grundebene berührt, 

 schneidet unsere Ziklide in den Krümmungslinien des zweiten 

 Systems. 



Diese Ergebnisse sind offenbar auch für die Krümmungslinien der 

 Flächen im ersten Teil giltig. 



Diese Krümmungslinien zweiten Systems sind durch die Gleichungen 

 bestimmt: 



(29) {x- + y2 + ^2)2 -f 4 e ;v [%■'- + y2 + ::2) = 4 h- {x- + y^), 



(30) .r^ + y2 + z^=2rz, 



worin r Radius der gewählten Kugel bedeutet; aus diesen Gleichungen 

 folgt unmittelbar: 



(31) r^z^+2erxz = b^x^- + y^). 



Diese Fläche zweiten Grades geht also durch die Krümmungslinie, 

 welche also als der Schnitt einer Kugel mit einer Fläche zweiter Ordnung 

 eine Darboux-sche Ziklike ist, was mit dem Darboux-schen Satz, daß 

 jede Kugel eine Ziklide in einer Ziklike schneidet, übereinstimmt. Die 

 Schnittkurve der Kugel mit der Ziklide — eine Raumkurve achter Ord- 

 nung — zerfällt in den imaginären Kreis im Unendlichen, der doppelt 



