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zählt, und die übrig bleibende Raumkurve ist die eigentliche Krümmungs- 

 linie. Wir können auch sagen: 



Der imaginäre Kreis im Unendlichen gehört auch zu 

 den Krümmungslinien des zweiten Systems. 



Für die Aufrisse dieser Krümmungslinien zweiten Systems erhalten 

 wir leicht die Gleichung: 



(32) ■ [(/'^ + b^) z + 2 e r X — b^ . 2 r] z = 0. 



Der Aufriß einer Krümmungslinie zerfällt also in die X-Axe und 

 die Gerade: 



(33) 



1. 



&2 



Nun ist aber — die Entfernung der Leitlinie D des Grundkegel- 

 schnittes vom Brennpunkte /'; wir können also den Satz aussprechen: 



Die Krümmungslinien des zweiten Systems zer^alltn in den NuQ- 

 kreis / und in Kreise, deren Ebenen einen Büschel bilden, dessen Axe die 

 Polare D des Brennpunktes / ist. 



Der übrig bleibende Teil des Flächenschnittes mit einer solchen 

 Ebene ist wiederum ein Kreis. Bezeichnen wir in der letzten Gleichung: 



(34) 



so ist klar, daß wir dasselbe ;/• zwei verschiedene Werte von r bekommen ; 

 es ist also ersichtlich, daß auch dieser zweite Kreis eine Krümmungslinie 

 ist ; somit : 



Der Ebenenbüschel, dessen Axe die Polare des Brenn- 

 punktes / ist, schneidet unsere Zikliden in je zwei Kreisen, 

 welche Krümn^ungslinien der Fläche sind. 



Dies bestätigt wiederum, daß es Dupin-sche Zikliden sind. 



Bemerkung. Ebenso findet man, daß die Krümmungslinien des 

 zweiten Systems für die Fläche Fig. 10 des ersten Teiles durch die Glei- 

 chungen gegeben sind, wenn wir den Anfangspunkt nach a verlegen: 



{x^ + y^ + z^ + 2 r xf = i r^ {x^ + y^) und x^ + y^- + z^ = 2 R z. (R der 

 Radius der Kugel.) 



Aus denselben folgt unmittelbar: 



(Rz + r x)~ = f^ [x^ + y^). 



Diese Fläche zweiten Grades geht also ebenfalls durch die Krüm- 

 mungslinie; dieselbe ist also Darboux-sche Ziklike. Ihr Aufriß hat die 

 Gleichung: 



{Rz + r xf = r-{2Rz — z^), 



