2. Die Flächennormalen längs eines Kreisschnittes der Fläche erfüllen 

 den Rotationskegel, dessen Scheitel der Momentanpol w ist. 



3. Der Fläche läßt sich längs eines Kreisschnittes eine Berührungs- 

 kugel beschreiben, dei-en Mittelpunkt dieser Momentanpol co ist. 



4. Die Tangentialebenen in den Punkten eines Kreisschnittes um- 

 hüllen einen Berührungsrotationskegel, dessen Scheitel v auf der Tangente T 

 im Momentanpol w liegt ; dieser Scheitel wird erhalten, wenn wir zu dem 

 Vektor af in f die Senkrechte errichten. 



5. Die Scheitel aller Berührungskegel erfüllen die Polare D des 

 Brennpunktes /. 



6. Die Fläche ist die Envelloppe einer veränderlichen Kugel, welche 

 stets durch den Brennpunkt / geht, und deren Mittelpunkt die Grund- 

 parabel beschreibt; es ist also jener Spezialfall der Dupin-schen Ziklide, 

 mit welcher sich v. Lilienthal*) eingehend befaßt. 



7. Die- Krümmvmgslinien ersten Systems sind die Kreisschnitte, 

 welche sich in / berühren. Die Krümmungslinien des zweiten Systems 

 sind Schnitte der Fläche mit Kugeln, welche in / die Grundrißebene berühren 

 Diesielben zerfallen in Kreise, imd zwar sind dieselben die Schnitte mit 

 dem Ebenenbüschl, dessen Axe die Polare D von / ist. 



Scheinbare Umrisse der Fläche. 



Differenzieren wü" die Gleichung: 



(42) X (.V2 + y^ + z^) =P (%2 + y2) 



nach z, so erhalten wir: x . 2 z = ù. Dieser Gleichung genügt: 



1. X = 0; somit: Ein Teil des Umrisses im Grundrisse ist die Scheitel- 

 tangente Aj^. 



2. ^ = ; woraus folgt x {x'^ + y^) = p {x'^ + y^) ', somit: Der übrige 

 Teil des Umrisses im Grundrisse ist die Leitlinie D und der Nullkreis /, 



Differenzieren wir die Gleichung (42) nach y, so erhalten wir 



X . 2y = 2 py. 



Dieser Gleichung genügt: 



1. X = p; somit: Ein Teil des Aufrisses ist die verlängerte Gerade D. 



2. y = 0, woraus folgt: x {x^ -\- z^) = p x^, oder x = und x^ + z^= 

 = p x; somit : 



Der übrige Teil des Umrisses im Aufrisse ist die verlängerte Gerade Aj^ 

 und ein Kreis, welcher in /^ die letzte Gerade berührt, und außerdem die 

 Gerade D. 



Differenzieren wir (42) nach x, so erhalten wir: x^ + y^ + z'^ + 2 x^= 

 = 2p X, woraus folgt: 2 x^ — p x^ + p y^ = 0. Da diese Gleichung in 



*) V. L i 1 i e n t h a 1: Vorlesungen über Differentialgeometrie. Band II., 1913. 

 pag. 141 ; vergleiche daselbst die Gleichung (36) auf Seite 141. 



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