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Aus diesen Gleichungen folgt unmittelbar: 

 (59) «2 ^.2 _L 1,2 y2 _ ,,2 ,2 = ; 



somit kann durch die Durchdringungskurve ein Kegel zweiter Ordnung 

 gelegt werden, daher sind die Krümmungslinien zweiten Systems wieder 

 D a r b o u x-sche Zykliken. 



Die Projektionen dieser Krümmungslinien sind durch die Gleichungen 



gegeben: 



Grundriß (60) [{r'- + a^) ^^2 ^ (/2 + 52) y2j2 _ 4 ^4 (^2 ^.2 _|. ^,2 3,-). 



Da diese Gleichung allgemeinere Form als die der Booth sehen 

 Lemniskate hat, werden wir die entsprechende Kurve Lemniskatoide 

 benennen; diese hat analoge Gestalt, wie die Lemniskate von Booth. 

 Aufriß: (61) e^ x^ — {b^ + r^) z^ + 2b^r z = 0. 

 Seitenriß: (62) e' y^ + (a' + r') z^ — 2a^rz = 0. 



Der Auf- und Seitenriß sind Kegelschnitte, da die Krümmungslinien 

 symmetrisch zu Ebenen sind, die parallel der Auf- und Seitenrißebene 

 sind, wodurch sich die Ordnung auf die Hälfte erniedrigt. 



Der imaginäre Kreis im Unendlichen ist auch eine Krümmungslinie 

 der Fläche. 



Die Flächenumrisse. 



Differenzieren wir die Gleichimg der Fläche (57) nach z, so er- 

 halten wir: 



2 {x-^ + y^ + z^)2z = 0; 



dieser Bedingung genügt: 



1. 2 = 0, woraus folgt: {x^- + yY = 4 («' x^- + b^ y-) ; somit: Ein 

 Teil des Umrisses im Grundrisse ist Booth sehe Lemniskate (die 

 Rollkurve B). 



2. x^ + y^ + z^ = 0, woraus folgt: a^ x^ + b'^ y'- = 0; somit: der 

 übrige Teil dieses Umrisses ist eine Nullellipse (zwei konjugiert imaginäre 

 Geraden, die sich in schneiden). 



Differenzieren wir dieselbe Gleichung nach y, so erhalten wir: 



2{x^ + y^ + z^) .2y = 4:b^.2y; 

 dieser Bedmgung genügt: 



L y = 0, woraus folgt: [x ±a)^ + z^ = a^, somit: Ein Teil des 

 Umrisses im Aufrisse besteht aus zwei Kreisen vom Halbmesser a, die 

 sich in 0.^ berühren. 



2. ;(;2 -f y2 -I- 2^ = 2 &2, woraus folgt: ^, — ^ = !■ somit: der 



