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Die Tangente dieser Kurve im Punkte t erhalten wir auf Grund: 



d 



(72) Suhl = -- = 2 « f ^ + «) 



^ ' diu \2 / 



Wir haben also folgende einfache Konstrukzion der Tangente t: 



Wir übertragen den Vektor o p der Archimedischen Spirale nach v 

 (o p ^ f-ii); dann ist v t die Normale und die Senkrechte zu derselben 

 die Tangente t der Spirale S. 



Diese Tangente t ist offenbar die Grundrißspur der Oskulationsebene 

 unserer orthogonalen Rollkurve ; diese Oskulationsebene schneidet den 

 angegebenen Orthogonalkegel in einem Kegelschnitt, und der Krümmungs- 

 mittelpunkt dieses Kegelschnittes ist zugleich der Mittelpunkt der ersten 

 Kriünmung unserer Raumkurve. 



Für einen beliebigen Winkel ^p sind die Grundrisse der klinogonalen 

 Rollkurven homothetische Archimedische Spiralen in Bezug auf den Pol o 



und für das Ahnlichkeitsverhältniss 2 srw^ ^ . Die Raumkurven selbst liegen 



auf den betreffenden projizierenden Zilindern und auf den Rotationskegeln, 

 deren Scheitel o und deren Axe Z ist, welche mit den Kegelerzeugenden 



den Winkel ^ einschließt. Die Gleichungen dieser Flächen sind: 



, — ^ ti/ X 



(73) V •*-'" + V" = 2 rt sin- - arc cos - — 



2 V ^^ + y^ 



(74) x'- + y^ = fg^ 1 . 2-. 



Die Auf- und Seitenrisse der klinogonalen Rollkurven sind wieder 

 Spirallinien, deren Gleichungen sind: 



z X ûi 2 y dl 



(75) cos — -. — ^ = ~-.cotg^, (76) sm — -. — r = -.cotg^ 



a sin (p 2 2 a sm <\t z 2 



Eliminieren wir aus den Gleichungen (73), (74) den Winkel '\), so 

 erhalten wir als die Gleichung der Fläche, welche alle Rollkurven erfüllen: 



X^ + V^ + Z^ X 



(77) cos , = - — . 



2 a Y x^ + y2 ■\ x^ + y^ 



Auf dieser Fläche treten zwei Kurvensysteme auf: 1. die Raum- 

 spiralen, die durch Rollung entstanden sind; 2. Kreisschnitte, welche 

 einander in o berühren, deren Ebenen senkrecht zur Grundebene sind, 

 und deren Mittelpunkte die gegebene Archimedische Spirale beschreiben. 



Da jede Ebene, die durch Z geht, die Fläche nach unendlich vielen 

 Kreisen schneidet, so ist ersichtlich: 



Die Fläche hat den imaginären Kreis im Unendlichen 

 zur unendlichfachen Linie. 



Aus denselben Gründen wie bei den früheren Flächen, können wir 

 noch folgende Eigenschaften dieser Fläche aussprechen: 



