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1. Die Normalen der Fläche in allen Punkten eines Kreisschnittes 

 erfüllen einen Rotationskegel, dessen Scheitel der Momentanpol w ist. 



2. Längs jedes Kreisschnittes kann der Fläche eine Berührungskugel 

 eingeschrieben werden, deren Mittelpunkt der Momentanpol w auf der 

 ersten negativen Fußpunktkurve der Archimedischen Spirale ist. 



3. Längs des Kreisschnittes kann der Fläche ein Berührungsrotations- 

 kegel umschrieben werden, dessen Scheitel v auf der Tangente T in oj 

 ist ; wir erhalten ihn (Fig. 11), wenn wir zum Vektor (o o die Senkrechte ov 

 errichten. 



4. Geometrischer Ort der Scheitel v aller Berührungskegel ist eine 

 Spirale V (Fig. 11), deren Gleichung ist, wenn wir den Vektor ov = R 

 und die zugehörige Amplitude x ov = a. bezeichnen: 



(78) cos ( 



5. Längs eines Kreisschnittes kann der Fläche ein Berührungskonoid 

 dritter Ordnung umschrieben werden, dessen Bestimmungselemente ebenso 

 wie in früheren Fällen gefunden werden. 



6. Krümmungslinien des ersten Systems sind die Kreisschnitte. 

 Krümmungslinien des zweiten Systems sind Schnitte der Fläche mit 



Kugeln, welche im Anfangspunkte o die Grundebene berühren; dieselben 

 sind durch die Gleichungen gegeben: 



X^ + y^ + Z^ X 



(79) cos 



(80) x^ + y^ + z^ = 2r z. {r der Kugelradius.) 



Dieselben sind daher wieder Raumspiralen, deren Projektionen neue 

 ebene Spiralen sind, die folgende Gleichungen haben: 



Grundriß: (81) cos 

 Aufriß: (82) cos 



r r -]- '\ r^ — (^ + V ) 



|_« ^lx^ + y^ _ V^'^ + y^ 



La V ÏV^zj ^ yz{2r-z)' 



Seitenriß: (83) cos L \l t = l/ ii^' 



\_a \ 2 r-z_\ V z[ 



■z) —y- 



(2r-z) 



Die Fläche ist mit ihren Kreisschnitten und Rollkurven — und zwar 

 anderthalb Windungen — in Fig. 12 auf ebensolche Weise wie die früheren 

 Flächen abgebildet; wir wollen dieselbe wegen ihrer Form Schnecken- 

 fläche benennen. 



