Konstruktion einer gleichachsigen Hyperbel 

 aus vier imaginären Puni^ten oder Tangenten. 



(Verhandlungen der Ceska Akademie etc. Jahrgang XXIV., Nr. 11.) 



Von VINZENZ JAROLlMEK, 



k. k. Hofrat, Professor an der k. k. böhni. technischen Hochschule in Prag. 



Mit 2 Figuren im Texte. 



(Vorgelegt am 12. Februar 1915.) 



1. Je zwei solche Punkte müssen konjugiert sein; und die Verbin- 

 dungsgerade zweier konjugiert -imaginären Punkte ist reell. Es seien also 

 zwei gegeben als Doppelpunkte a, b einer elliptischen Involution auf der 

 reellen Geraden M (Fig. 1.); ihr Mittelpunkt sei o, die Potenz = — og'^. 

 Ebenso seien die übrigen c, d bestimmt als Doppelpunkte einer elliptischen 

 Involution auf der reellen Geraden A'', ihr Mittelpunkt a, die Potenz = 

 — (0 v^. Es handelt sich um eine Konstruktion, welche das Verzeichnen 

 von Hilfskegelschnitten entbehrlich macht. Die Grundpunkte a, b, c, d 

 bestimmen einen Kegelschnittbüschel H, welcher die gesuchte Hyperbel 

 enthält. Wir konstruieren zunächst das gemeinsame Polardreieck xyz 

 des Büschels Z, welches in diesem Falle reell ist ; seine Ecken sind in den 

 Diagonalpunkten des vollständigen Vierecks ab c d. Der Schnittpunkt 

 (M N) ^ X ist ein Scheitel des Dreiecks. Seine Polare X schneidet die 

 Geraden M, N in den Punkten m, n, welche in den gegebenen Involuti- 

 onen dem Punkte x entsprechen. Machen wir also g in A-X g, v n _L x v, 

 und verbinden m ue^X ; auf die Polare .Y fallen die übrigen Eckpunkte 

 y, z. Im Punkte y schneiden sich die konjugiert -imaginären Verbindungs- 

 geraden etwa a c, b d, demnach im Punkte z die Geraden ad, b c. Die 

 Involutionen M, N projizieren sich aus dem Punkte y (oder auch z) auf 

 einander durch dieselbe Strahleninvolution, weil sich auch die Doppel- 

 punkte a, b aus y auf c, d projizieren ; M und A'' sind also perspektiv. Das- 

 selbe gilt also auch von dem Punktepaar c Ci, welches in der Involution M 

 von X, m harmonisch getrennt wird, und vom Paar / /j, welches in der 

 Involution AT' die Punkte x, n harmonisch trennt. Diese Punktepaare 

 erhalten wir durch Halbierung der Winkel x g m, x v n (<^ eg m ='^mgei= 

 = ■^f V r = «^ nvfi = 4.5".) Die Verbindungsgeraden e /^, e^f schneiden 



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