der Involution /' erhalten wir in den Geraden y M' \\ M, y iV || N, weil 

 {M N) einen degenerierten Kegelschnitt im Büschel U vorstellt. Ein zweites 

 (imag.) Paar geben die Doppelstrahlen a c^^P, b d^R derjenigen Invo- 

 lution /", welche M aus y auf N projiziert, welche also durch die Paare 

 [y e, y^i), {y x, y m) bestimmt ist. Wir beschreiben aus einem beliebigen 

 Mittelpunkte z einen Kreis K mit dem Halbmesser t y, aus welchem I" 

 eine quadratische Punktinvohition [ss^], (^ (t) ausschneidet, deren Mittel- 

 punkt q> ^ (e s^, Ift). Die imaginären Schnittpunkte sr, q der Strahlen 

 P, R auf dem Kreise K liegen auf seiner Polare F, welche dem Pole qp ent- 

 spricht. Machen wir also <p ij/ J_ r (p , im Punkte xj) die Tangente ^ à _[_t rj), 

 und errichten im Schnittpunkte d der Tangente mit dem Durchmesser 

 r ip die Polare F _\_z (p (fällt außerhalb der Fig. 1.) ; F ^ n q. Die Involu- 

 tion /', jetzt durch die Paare M' N', P R bestimmt, schneidet den Kreis 

 K in einer anderen Punktinvolution, deren zwei Paare ft' v', tc q sind. 

 Die Verbindungsgeraden ;t' v', x q^^ F schneiden sich im Mittelpunkte i 

 dieser Involution. Das rechtwinklige Strahlenpaar der Involution /'erhalten 

 wir also: verbinden i%, bestimmen die Schnittpunkte k', ß' der Geraden ir 

 mit dem Kreise K, und verbinden y a' ^ A', y ß' ^ B'. Diese Geraden be- 

 stimmen die Asymptotenrichtungen der Hyperbel H. Diese ist nun durch 

 die imaginären Punkte a, b, c, d und den reellen unendlich fernen Punkt 

 «00 auf A' gegeben. Die Punkte u, t, in welchen die Polare X (zum Polex) 

 die Hyperbel H schneidet, konstruieren wir wie folgt: Wir projizieren die 

 Involutionen M, N aus dem Punkte a^ durch zwei konzentrische Parallel- 

 strahleninvolutionen und bestimmen ihr gemeinsames Strahlenpaar. Zu 

 dem Zwecke schneiden wir bîide mit einer beliebigen Geraden, etwa X, 

 in zwei involutorischen Punktreihen x' m, e' e\ (.v x' \\ e e' \\ e^ e\ II A') und 

 x' n, f" f'\ {ff" II /i/," II A'), projizieren beide aus einem beliebigen Punkte, 

 etwa X, auf eine durch den Punkt x gehende Kreislinie L, in zwei qua- 

 dratische Punktinvolutionen, bestimmen ihre Mittelpunkte y, A, die Schnitt- 

 punkte n', t' der Verbindungsgeraden y K mit dem Kreise L, und proji- 

 zieren u' , t' zurück aus x auf X in die Punkte m, t. Die Geraden x u, x t 

 sind Tangenten der Hyperbel H in den Punkten u, t. 



Die konjug. Durchmesser- Involution der gleichachsigen Hyperbel H 

 ist symmetrisch, ihre Doppelstrahlen sind identisch mit den Asymptoten. 

 Der Durchmesser s u und die Tangente u x sind konjugiert ; ziehen wir 

 also uk WA', machen -^kus = <^ xuk, ferner t h \\B', <^ ht s = <^ xt s, 

 so schneiden sich die Geraden us, t s im Mittelpunkte der Hyperbel s. 

 Außerdem fällt s auf die Gerade, welche den Punkt x mit der Mitte der 

 Strecke u t verbindet (der zur Polare X konjugierte Durchmesser des 

 Poles x), und auf die dem Polardreiecke xyz umschriebene Kreislinie.^) 

 Durch den Mittelpunkt s ziehen wir die Asymptoten A WA', B WB'; ihre 



^) Gilt für sämtliche Polardreiecke einer gleichachsigen Hyperbel, 

 JaroHm^k, Gsomjtrie polohy (Geometrie der Lage), IV. Teil, 104.)'. 



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