Symmetralcn geben die Achsen der Hyperbel H, die reelle wird aus dem 

 Punkte u und seine Tangente nx leicht begrenzt. Aus der Konstruktion 

 erhellt, daß die Aufgabe eindeutig und die Hyperbel H immer reell ist. 



Sind die imaginären Punkte a, h, c, d als gemeinsame Punkte zweier 

 Ellipsen K, L gegeben, welche sich nicht schneiden, mit anderen Worten: 

 soll im Kegelschnittbüschel [K L) die gleichachsige Hyperbel aufgesucht 

 werden, dann konstruieren wir zunächst das gemeinsame Polardreieck 

 X y z der Kurven K. L, ferner zwei Kollineationsachsen, welche durch 

 einen Scheitel, etwa x, gehen ; auf jeder bilden K und L dieselbe Involu- 

 tion harmonischer Pole. Wenn wir sonach auf M und N je zwei Punkte- 

 paare der durch die Ellipse A' erzeugten Involutionen bestimmen, so ist 

 dann die Aufgabe mit der vorhergehenden identisch. 



2. Zweitens sei die gleichachsige Hyperbel H durch vier imaginäre Tan- 

 genten gegeben;^) zwei als Doppelstrahlen A, B einer elliptischen Involu- 

 tion mit dem reellen Mittelpunkte m, welche durch zwei sich trennenden 

 Strahlenpaare gegeben ist, die übrigen zwei als Doppelstrahlen C, D einer 

 elliptischen Involution mit dem reellen Mittelpunkte n (bestimmt ebenfalls 

 durch zwei Strahlenpaare). Die Grundhnien A, B, C, D bestimmen eine 

 Kegelschnittschar £1, welche die gesuchte Hyperbel iJ enthält. Konstruieren 

 wir wieder das gemeinsame Polardreieck A' Y Z der Schar ß ; seine Seiten 

 liegen in den Diagonalen des vollständigen Vierseits A BCD (Fig. 2.). 

 Die Verbindungsgerade m n ^ X ist eine Seite desselben. Schneiden wir 

 beide Involutionen mit zwei Kreislinien A', L, welche durch die Punkte 

 m, resp. n gehen, in quadratischen Punktinvolutionen, und bestimmen 

 ihre Mittelpunkte e, ca.^) Konstruieren ferner die zu X in den Involutionen 

 m und n entsprechenden Strahlen M (mittels r s /-]) und N (mittels <? « ?i) ; 

 der Schnittpunkt {M N) ^ x gibt den zu X gegenüberliegenden Eckpunkt 

 des Polardreiecks, als Pol des (in der Schar £1) in die Punkte m, n zer- 

 fallenden Kegelschnittes, welcher der Polare X entspricht. Die konju- 

 gierten Schnittpunkte der Grundlinien ( A C), (BD) sind imaginär, aber 

 ihre Verbindungsgerade Y ist reell ; ebenso (.4 D) {B C) ^ Z. Beide Involu- 

 tionen m, n sind perspektiv, indem sie die Gerade Y (und ebenso Z) in 

 derselben Punktinvolution schneiden ; denn auf Y schneiden sich gegen- 

 seitig ihre Doppelstrahlen. Infolge dessen schneiden sich auch die Strahlen 

 E, E^, welche in der Involution m durch die Strahlen X, M harmonisch 

 getrennt sind, mit den Strahlen F, Fj, welche in der Involution n die Strahlen 

 X, N harmonisch trennen, auf der Perspektivitätsachse Y. Diese Strahlen- 

 paare erhalten wir wie folgt: Die Tangenten des Kreises A in den Punkten 



1) Die Aufgaben 1. und 2. sind nicht dual; die Data sind zwar reziprok, 

 nicht aber die gewünscliten Gebilde. Nur die Konstruktion des Polardreiecks xys 

 ist hier reziprok. 



"^ Um die Fig. 2. nicht zu überfüllen, haben wir dort die Strahlenpaare, 

 welche die Involutionen »;, n bestimmen, und die bekannte Konstruktion der 

 Mittelpunkte £, co der Involutionen auf den Kreislinien A', L weggelassen. 



