bindungsgerade gh^ Z, die Schnittpunkte {E F) = /, [E^ F^ = i die 

 Gerade / / ^ Y . Beide gehen durch den Punkt x, so daß der Punkt h ent- 

 behrUch ist: gx^Z, jx'=.Y. Das gesuchte Polardreieck ist XY Z'^xyz. 

 Der Mittelpunkt s der Hyperbel H liegt einerseits auf dem Kreise R, 

 welcher dem l\ x \ z umschrieben ist, anderseits auf der Geraden P, welche 

 die Mittelpunkte sämtlicher Kegelschnitte der Schar H verbindet. Ein 

 Kegelschnitt (der zerfallende) besteht aus den Punkten m, n ;. der Mittel- 

 punkt der Strecke m n gehört also der Geraden P an. Einen zweiten Punkt 

 erhalten wir im Mittelpunkte eines anderen Kegelschnitts ; vorteilhaft 

 ist der unendlich ferne Mittelpunkt der in Sl enthaltenen Parabel G, welche 

 jedoch nicht verzeichnet werden muß, weil wir nur die Richtung 5 ihrer 

 Achse brauchen, welche zugleich die Richtung der gesuchten Geraden P 

 angeben wird. Die Schar £1 enthält nur eine einzige Parabel G; sie ist durch 

 die imaginären Tangenten A,B,C,D bestimmt. Dem Pole x entspricht 

 die Polare X, und weil die Involutionen m, n elliptisch sind, so liegt die 

 Strecke m n innerhalb der Parabel, so daß an dieselbe der Punkt x zwei 

 reelle Tangenten x u, x t ausschickt. Dieselben projizieren aus x diejenigen 

 Punkte auf der unendlich fernen Tangente U^ (sowie auf jedtr Tangente) 

 der Parabel, welche das gemeinsame Punktepaar bilden der beiden Involu- 

 tionen, in welchen die Involutionen m, n die Gerade U^^ schneiden. i) 

 Konstruieren wir also aus einem beliebigen Punkte c zwei zu m, n homo- ' 

 thetische Strahleninvolutionen, und bestimmen ihr gemeinsames Strahlen- 

 paar. Wir ziehen durch g zu A', M, E, E^ parallele Strahlen, schneiden 

 sie mit einem durch G gehenden Kreise Q, bestimmen den Mittelpunkt 3 

 der auf dem Kreise erzeugten Involution 11, 22, analog den Mittelpunkt 

 4 der zweiten Involution 1 1, II II, welche die zu A', N, F, Fy parallelen 

 Strahlen aus dem Kreise ausschneiden, verbinden 8 -4, suchen die Schnitt- 

 punkte «, ß auf Q, verbinden dieselben mit o, und ziehen durch x die Tan- 

 genten X t \\G a, X u II a ß. Die Schnittpunkte t, u auf X sind die Berührungs- 

 punkte auf der Parabel ; der durch den Pol x gehende Durchmesser wird 

 die Sehne u t halbieren. Machen wir also u c = et und verbinden x c^S. 

 Dieser Durchmesser ist parallel zur Achse der Parabel G; die durch o 

 (m ^ n) gezogene Gerade P \\ S ist der geometrische Ort der Kegel- 

 schnitts-Mittelpunkte in der Schar Sl. Der Schnittpunkt s der Geraden 

 P mit dem Kreise R, welcher dem Polardreiecke .v \' z umschrieben ist, 

 gibt den Mittelpunkt der gesuchten gleichachsigen Hyperbel H. Ihre Kon- 

 struktion aus dem Polardreiecke xy z und dem Mittelpunkte s ist bekannt. 

 Die Gerade s y z. B. und die durch s gezogene Parallele zu Y sind zwei 

 konjugierte Durchmesser; ihre Symmetralen geben die Asymptoten der 

 Hyperbel. Zwei reelle Punkte derselben erhalten wir auf dem Durchmesser 

 s y als Doppelpunkte der Involution, welche durch den Mittelpunkt s und 



1) Ein bekannter Satz der Geometrie der Lage; siehe z. B. Wiener, Darstel- 

 lende Geometrie I. pag. 280, oder Jarolimek, Geometrie der Lage' II, 114, pag. 

 13 rechts. 



