schneiden, so daß diese vier Geraden ein windschiefes Viereck bilden, so 

 werden wir von diesen zwei Regelscharen sagen, daß sie in Involution sind. 

 Es seien «^ und ß^ zwei Regelscharen von dieser Eigenschaft und, es 

 seien «j, a^ zwei Geraden von der Regelschar «^ und b^, &, zwei Geraden 

 von der Regelschar ß^ und zwar solche Geraden, daß sie mit den beiden 

 ersteren ein windschiefes Viereck bilden. Betrachten wir jetzt die Ge- 

 raden «1, «2 als ein Paar von conjugierten Polaren des linearen Komplexes 

 in welchem die Regelschar ß'^ enthalten ist. Es sei F dieser lineare Complex. 

 Betrachten wir dann eine beliebige Gerade a^ der Regelschar «^ und es 

 sei flj, die conj . Polare der Geraden Ux in Bezug auf den linearen Komplex F. 

 Die Gerade ay muß der Regelschar «^ gehören, weil zwei Paare von conj . 

 Polaren eines linearen Komplexes ein hyperboloidisches Quadrupel bilden. 

 Wenn wir alle Geraden a^ der Regelschar a^ in Betracht nehmen, so be- 

 kommen wir auf die obige Weise eine gewöhnliche Involution Ja von den 

 Geradenpaaren a^, ay auf der Regelschar «^. Weil die Geraden Ux, iiy immer 

 ein Paar von conj . Polaren des lin. Komplexes F bilden, und weil zu diesem 

 Komplexe die Regelschar ß^ angehört, dann muß jedes Paar ax, ay der 

 Involution /„ in der Regelschar ß'^ ein Paar bx, by so ausschneiden, daß 

 die vier Geraden ax, ay, bx, by ein windschiefes Viereck bilden. Die Ge- 

 radenpaare bx. by bilden ersichtlich auf der Regelschar ß^- wieder eine ge- 

 wöhnliche Involution Jß. 



Wir können also folgenden Satz aussprechen: 



Wenn wir zwei Regelscharcn von der Eigenschaft haben, daß zwei 

 Geraden der ersten Regelschar dieselben zwei Geraden der zweiten Regelschar 

 schneiden, so existiert auf jeder Regelschar eine solche gewöhnliche Involution 

 von den Geraden, daß .zwei Geraden eines Paares der ersteren Involution 

 immer dieselben zwei Geraden eines Paares der anderen Involution ausschneiden. 



Von zwei derartigen Regelscharcn werden wir sagen, daß sie in In- 

 volution sind. 



Wir sehen auch, daß jede Regelschar mit ihrer Leitschar in Involu- 

 tion ist. 



Es seien a^ und ßy die Leitscharen der Regelscharen «-, ß'^. Dann 

 sehen wir, daß in dem linearen Komplexe F die Regelscharen a^ und ß" ent- 

 halten sind. Auf ganz analoge Weise können wir uns durch die Regelscharen 

 «^ und ß-^ einen gewissen linearen Komplex F' hindurchlegen. Wir 

 sehen also : 



Wenn eine Regelschar mit einer anderen in Involution ist, dann liegt 

 sie mit ihrer Leitschar in einem linearen Komplexe. 



Es ist sehr leicht zu ersehen, daß die beiden linearen Komplexe 1 

 und F' , welche wir auch symbolisch {a^, ß'^} und {«^ ß^} bezeichnen 

 können, in Involution sind, und wir sind dadurch, zu einem bekannten 

 Satze (Sturm: Liniengeometrie I., p. lo-l) gekommen, daß nämlich, wenn 

 zwei Regelscharen in einem linearen Komplexe enthalten sind, daß auch 

 ihre Leitscharen einem gewissen linearen Komplexe angehören. Dieser 



