Satz und die Umkehrung des obigen Satzes, daß nämlich, wenn eine Regel- 

 schar mit einer anderen Regelschar in demselben linearen Komplexe liegt, 

 dann diese beiden Regelscharen in Involution sind, berechtigt uns zu 

 dem folgenden Satze: 



Wenn zwei Regelscharcn in Involution sind, dann sind auch ihre Leil- 

 scharcn in Involution. 



Wir sprechen weiter den Satz aus: 



Wenn sich ziuci Regelscharcn in Involution bc/inden, dann können 

 wir durch jede Regelschar einen linearen Komplex hindurchlegen, welcher 

 zu allen dîirch die anderen Rcgelschar hindurchgehenden oo^ linearen Kom- 

 plexen in Involution ist. 



So bei unseren involutorischen Regelscharen «- und /3- kann man 

 durch die Regelschar a- resp. /3^ den linearen Komplex {er, ß^-] resp. den 

 Komplex [a^, ß"^] hindurchlegen, und 'diese Komplexe sind dann in In- 

 volution zu allen Komplexen, welche die Regelschar ß- resp. d^ enthalten. 



Zwei windschiefe Hyperboloide, welche Träger von den in Involu- 

 tion sich befindlichen Regelscharen sind, wollen wir als ,,zwei Hyperboloide 

 mit Regelscharen in Involution" oder kürzer als ,,zwei Hyperboloide in 

 Involution" bezeichnen. Weil durch jede Regelschar oo^ lineare Komplexe 

 hindurchgehen und weil jeder lineare Komplex oo^ Regelscharen enthält, 

 so sehen wir, daß zu jeder Regelschar oo^ Regelscharen existieren, welche 

 mit ihr in Involution sind. Und dadurch sind auch zu jedem Hyperboloide 

 00* Hyperboloide in Involution. 



2. Über zwei Regelscharen in doppelter Involution. 



Wir betrachten jetzt zwei Regelscharcn «^ und ß^ und ihre Leit- 

 scharen Kj", ß^ von der Eigenschaft, daß nicht nur die Paare a^, ß'^ und 

 «1^, ß^ sondern auch die Paare a^, ß^ und a^, ß- in Involution sind oder, 

 daß lineare Komplexe, welche wir symbolisch bezeichnen werden: 



{«^ ß'-}. [u;\ ß,-}, {a\ ß,^}, « ß^} 

 existieren. 



Dadurch sind wir zu dem Begriffe von zwei Regelscharen gekommen, 

 welche gleichzeitig in Involution und in demselben linearen Komplexe 

 enthalten sind. Zwei linearen Komplexe {«-, ß^-] und {a^, ß'^} durch- 

 dringen einander in einer linearen Kongruenz, welche polarinvariant in 

 Bezug auf das Hyperboloid A^, den Träger der Regelscharen «^, a^ ist. 

 Das kann man daraus ersehen, daß die Leitlinien dieser Kongruenz 

 die Diagonalseiten eines windschiefen, auf A- gelegenen, Viereckes sind. Je 

 zwei Gegenseiten dieses Viereckes sind die Geraden der Regelscharen «- 

 und a^, welche gleichzeitig in den lin. Komplexen [u^, ß"^} resp. {a^, ß"^] 

 enthalten sind. Diese in Bezug auf A'^ polarinvariante lineare Kongruenz 

 muß auch die Regelschar ß"^ enthalten, weil nämlich diese in den beiden 

 linearen Komplexen {«j^, ß-} und {«-, ß^} gelegen ist. Auf ganz analoge 



