Weise könnten wir auch zeigen, daß die Regelschar «^ i^ einer in Bezug 

 auf das Hyperboloid B"^ polarin\'arianten linearen Kongruenz enthalten 

 ist. Das Hyperboloid B- ist der Träger der Regelscharen /3^, ß^. Diese in 

 Bezug auf B- polarinvariante Kongruenz ist die Kongruenz der lin. Kom- 

 plexe {a^, /îi^} und {d\ ß;^]. 



Wir haben also folgenden Satz: 



Wenn zwei Regelscharen in Involution und gleichzeitig in demselben 

 linearen Komplexe enthalten sind, dann ist jede von diesen Regelscharen in 

 einer linearen Kongruenz enthalten, welche polarinvariant in Bezug auf den 

 Träger der andeien Regelschar ist. 



Zwei Regelscharen von dieser Eigenschaft "werden wir als zwei Regel- 

 scharcn in doppelter Involution bezeichnen. 



Der Satz gilt aber auch umgekehrt. E^ seien p, q die konjugierten 

 Polaren des Hyperboloides A^ und betrachten wir in der linearen Kon- 

 gruenz \j), q\ eine beliebige Regelschar ^^ Die Leitschar ß^ dieser Regel- 

 schar ist dann zu den beiden Regelscharen a^, a^ des Hyperboloides A^ 

 in Involution; denn zwei Geraden der Regelschar ß^, nämlich die Ge- 

 raden p, (7 als conj. Polaren des Hyperboloides A^ bilden jedesmal mit 

 zwei Geraden der Regelscharen a^, «j- ein windschiefes Viereck, und das 

 genügt schon zur Involution unserer beiden Regelscharen. Es ist also 

 auch die Regelschar ß^ in Involution zu den beiden Regelscharen d^, a^. 

 Daraus aber geht wieder die Existenz unserer vier linearen Komplexe 

 hervor. 



Wir können also den obigen Satz auch umgekehrt aussprechen: 



Wenn wir zwei Regelscharen von der Eigenschaft haben, daß jede von 

 ihnen in einer linearen Kongruenz liegt, welche in Bezug auf den Träger der 

 anderen polarinvariant ist, dann sind tmsere beiden Reselscharen in In- 

 volution und in demselben linearen Komplexe enthalten. 



Zwei windschiefe Hyperboloide, welche Träger von Regelscharen in 

 doppelter Involution sind, werden wir als ,, Hyperboloide mit Regelscharen 

 in doppelter Involution" oder kürzer auch als ,,zwei Hyperboloide in 

 doppelter Involution" bezeichnen. 



Betrachten wir jetzt zwei solche Hyperboloide mit Regelscharen in 

 doppelter Involution. Wie wir eben gezeigt haben, ist jede Regelschar in 

 einer linearen Kongruenz enthalten, welche in Bezug auf das Hyperboloid, 

 auf welchem diese Regelschar nicht liegt, polarinvariant ist. Es liegen 

 also die Leitgeraden dieser Kongruenz immer in der Leitschar der be- 

 trachteten Regelschar. Es befinden sich also auf jeder von den vier Regel 

 scharen unserer beiden Hyperboloide zwei Geraden, welche immer die 

 Leitgeraden einer in Bezug auf das andere Hyperboloid polarinvarianten 

 linearen Kongruenz sind. 



Wir können also folgenden Satz aussprechen: 



Bulletin International. XX. 4 



