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Auf jedem von zwei Hyperboloiden mit Regelscharcn in doppelte)' In- 

 volution liegt ein windschiefes Viereck, welches mit seinen Diagonalscitcn 

 den Polartelraedey des anderen Hyperboloides bildet. 



Es ist zu bemerken, daß zu derartiger Konfiguration von zwei Flächen 



2. Grades auf dem analytischen Wege schon A. Voss ^) gekommen ist. 



Es ist leicht zu ersehen, daß die hier oft betrachteten 4 linearen 

 Komplexe {«^, /3"}, {a^ ß^}, {«/, ß^}, {a^^, ß-^}, eine solche Konfiguration 

 bilden, daß jeder von ihnen zu den 3 übrigen in Involution ist. 



Wir wollen jetzt zeigen, daß zu jeder Regelschar oo' Regelscharen 

 existieren, welche mit ihr in doppelter Involution sind. Das kann man 

 daraus ersehen, daß zu jedem Hyperboloide oo* polarinvariante lineare 

 Kongruenzen existieren und daß jede von diesen Kongruenzen oo'' 

 Regelscharen enthält. Zwei Hyperboloide, welche sich in einem wind- 

 schiefen Vierecke durchschneiden, bilden, wie man sehr leicht ersehen kann, 

 einen sehr speciellen Fall von zwei Hyperboloiden in doppelter Involution. 



3. Über eine Regelfläche 4. Grades, welche durch zwei Hyperboloide in 



Involution gegeben ist. 



Es seien zwei .4'^ und B- in in\-ûlutorischer Eage sich befindliche Hy- 

 perboloide gegeben, und es seien a^, a^ und ß'^, ß^ ihre involutorischen 

 Regelscharen. Auf diesen vier Regelscharen haben wir, wie wir oben ge- 

 zeigt haben, je eine Involution in ihren Geraden, nämlich die Involutionen, 

 welche wir ähnlich wie oben mit ./„, J„', Jß, Jß bezeichnen. Zwei Geraden 

 tty, (?2 eines beliebigen Paares der Involution J„ schneiden immer zwei 

 Geraden b^, b.-, eines gewissen Paares der Involution Jß. Ähnlicherweise 

 zwei Geraden «/, a^ der Involution J„' schneiden zwei Geraden è/, b^ 

 der Involution Jß. Wir bekommen also auf diese Weise zwei Gruppen 

 von 00 1 windschiefen Vierecken a^ a^ b^ b^ und rtj' Or,' b^' b.^ und es wird 

 jetzt unsere Aufgabe sein den geometrischen Ort von den Diagonalpaaren 

 rfj ^2 resp. dj^ , d.2' dieser oo^ windschiefen Vierecke zu studieren. 



Es sei Ä^ die Durchschnittskurve der beiden Hyperboloide ,4- und 

 B~. Auf dieser Raumkurve vierter Ordnung erster Art schneiden dann 

 die Geradenpaare der Involution J„ oder Jß eine besondere involutorische 

 Korrespondenz [2, 2] und der geometrische Ort des korrespondierenden 

 Punkte in dieser Verwandschaft ist schon die gesuchte Fläche. Legen wir 

 jetzt durch eine beliebige Gerade p im Räume eine beliebige Ebene x 

 hindurch. Diese Ebene schneidet dann die Raumkurve k"* in vier Punkten, 

 und weil in unserer Korrespondenz [2, 2] jedem Punkte zwei Punkte 

 entsprechen, so entsprechen der Ebene sr 8 Ebenen. Und umgekehrt 

 jeder von diesen 8 Ebenen entsprechen wieder S Ebenen. Wir haben also 



') A. Voss: Die Liniengeometrie in ihrer Anwendung auf die Fläclien 

 zweiten Grades. (Matliematisclie Annalen Bd. 10, p. I4I3.) 



