in dem Ebenenbüschel mit der Axe p eine gewisse Korrespondenz [8, 8], 

 welche 16 koinzidierende Ebenen hat, von welchen aber 4 Ebenen, welche 

 durch die 4 Koinzidenzpunkte der Korrespondenz [2, 2] gehen, abfallen 

 müssen. Wir gelangen also zu der Regelfläche vom 12. Grade. Dieser 

 Grad reduziert sich aber auf die Hälfte 6, wenn wir den involutorischen 

 Charakter der Korrespondenz [2, 2] in Betracht nehmen, und so ergibt 

 sich, daß wir also jede Gerade unserer Regelfläche als doppelte ansehen 

 müssen. Zu dieser Regelfläche gehört aber auch die Regelschar ß^ oder «^ 

 je nachdem die Korrespondenz [2, 2] auf k^ von den Geraden der In- 

 volution Ja, oder Jß ausgeschnitten ist. Reduziert sich also der Grad ß 

 unserer Regelfläche auf 4, und wir gelangen also zu einer Regelfläche 

 4. Grades. 



Ein specieller Fall von dieser Regelfläche ist das sogenannte ,, ver- 

 allgemeinerte Cylindroid", welches wir als den Inbegriff von den Diagonal- 

 seiten aller oo^ windschiefen Vierecke betrachten können, deren je zwei 

 Gegenseiten zwei sich entsprechende Geradenpaare in zwei projektiven 

 Involutionen in beiden Regelscharen desselben Hyperboloides sind.^) 



Bezeichnen wir unsere Regelfläche mit P' und wie diese Regelfläche 

 der geometrische Ort \'on Diagonalpaaren d^ , d^ der Vierecke a^ a^ b^ b^ ist, 

 sei Pj* die Regelfläche der Diagonalpaaren d-^' , d^ der Vierecke a-^' a^ b-l b.{. 



Es seien 



"a. î^«; M„', va; Uß, Vß] Uß, Vß 



fortschreitend die Doppelgeradenpaare der Involutionen: </„, ./„', Jß, Jß . 

 Dann können wir leicht ersehen, daß die Geradenpaare m„, w« ; Uß, Vß auf 

 der Regelfläche P^ und die Geradenpaare m„', v„' ; Uß , Vß auf der Regel- 

 fläche Pj*' liegen. 



Die Hyperboloide A"^ und ß'^ bestimmen uns, wie wir oben gezeigt 

 haben, zwei lineare Komplexe, welche wir mit {a^, ß^} und {«^, ßi^} be- 

 zeichnet haben. Den linearen Komplex [a^, ß^} können wir als Inbegriff 

 von Qoi linearen Kongruenzen betrachten, deren Leitgeradenpaare die 

 Geradenpaare der Involution /„' oder der Involution Jß sind. Ähnlicher- 

 weise führen die Involutionen J„ oder Jß zu dem linearen Komplexe 



Aus dieser Erzeugung unserer linearen Komplexe geht sofort hervor, 

 daß die Geraden der Regeltlächen P* und Pj^ in der linearen Kongruenz 

 der beiden Komplexe enthalten sind. 



Denn die Diagonalen d-^, d.^ des Viereckes a-^ a^ b^ ö, schneiden sowohl 

 die Geraden fl,, «o. ^i^ P^^i' der Involution J„, als auch die Geraden è,, öj, 

 ein Paar der Involution Jß aus. Sie gehören also den beiden linearen 

 Komplexen {«-, ß^} und [u^, ß^} und demnächst auch der Kongruenz 

 dieser beiden linearen Komplexe. Ebenso liegen die Geraden d-^, d.^ der 



1) Siehe die Abhandlung des Verfassers: ,,Über das verallgemeinerte Cylin- 

 droid." Bulletin Intsrnational de l'Académie des Sciences de Bohême. 1914. 



