Betrachten wir jetzt alle 4 Tripel von unseren 4 linearen Komplexen. 

 Diese 4 Tripel wollen wir folgendermaßen zusammenstellen: 



Die drei linearen Komplexe jedes Tripel schneiden dann aus den 

 Regelscharen der 4 Regelscharpaaren: 



«•, ß-: à\ ßr: «r, ß- , a--, ß;- 



immer ein Geradenpaar aus. Diese Geradenpaare sind auf diesen 4 Regel- 

 scharenpaaren enthalten aber auch fortschreitend von den folgenden 

 4 linearen Komplexen ausgeschnitten: 



[a;\ ß,^], {a;\ ß'-], [a\ /3,^}, {d\ ß^}. 



Dann sehen wir aber, daß die unsrigen Geradenpaare nichts anderes 

 als die Doppelgeradenpaare der oben betrachteten 8 Involutionen auf 

 Tinseren 4 Regelscharen sind. Es sind das die Geradenpaare: 



'laß,- l'«f7, ; "ßar Vßa,', 

 '"aß, --'aß ; «/?,«.. l'Aa,; 



"«,/9,. 'V,/?.; nfl„. vfi„ ; 



■!la,ß . '''a,/î ; "ß,a . ''Ab • 



Damit haben wir aber schon 4 Regelscharen gefunden, in welchen 

 sich immer drei unsere linearen Komplexe durchschneiden. 



Wir können also folgenden Satz aussprechen: 



Zwei Doppelgeradenpaare der Involutionen auf zwei in doppelter In- 

 volution sich befindlichen Regelscharcn, welche dort immer die Leitschar der 

 anderen Regelschar ausschneidet, bilden ein hyperboloidisches Quadruppel 

 von 4 Geraden. Auf diese Weise gelangen wir also bei zwei in doppelter In- 

 volution sich befindlichen Hyperboloiden zu 4 neuen Regelscharen. Diese 

 4 Regelscharen können wir als Durchschnittsregelscharen je 3 von unseren 

 4 linearen Komplexen betrachten. 



r>. über das quadratische System AV- und das lineare System :^^ von 

 Hyperboloiden, die in Bezug auf ein gegebenes Hyperboloid in Involu- 

 tion resp. in doppelter Involution sind. 



Wir wollen jetzt beweisen, daß das System aller oo* Hyperboloide, 

 welche in Bezug auf ein gegebenes Hyperboloid in Invohition ist, quadra- 

 tisch ist. Das wird schon bewiesen werden, wenn wir zeigen werden, daß 

 in jedem speziellen Büschel von Hyperboloiden, welche durch ein wind- 

 schiefes Viereck hindurchgehen, zwei Hyperboloide liegen, welche in Bezug 

 auf ein gegebenes Hyperboloid in Involution sind. I\Iit diesem speziellen 



