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Büschel können wir nach dem bekannten Schubertschen Prinzip von der 

 Erhaltung der Anzahl den allgemeinen Büschel erset7:en. 



Es seien m, n und p, q die Gegenseitenpaare des windschiefen Vier- 

 eckes, durch welches alle Hyperboloide des speziellen Büschels hindurch- 

 gehen, und es sei A^ das beliebig gegebene Hyperboloid mit den Kegelscharen 

 er, ßj'-. Durch die Regelschar «^ xmd die Geraden ?w, n legen wir den linearen 

 Komplex; [m, n ; «-} hindurch. Dieser lineare Komplex hat mit der linearen 

 Kongruenz [p, q] eine gewisse Regelschar |^ gemeinsam. Das Hyperboloid 

 X'^, das Träger von dieser Regelschar ist, ist schon ein Hyperboloid des 

 Systèmes ^^, des Systèmes aller Hyperboloide, die mit dem Hyperbo- 

 loide .4- in In\olution sind. Zu demselben Hyperboloide gelangen wir 

 auch, wenn wir den gemeinsamen Schnitt der lin. Kongruenz [w, m] mit 

 dem lin. Komplexe: {p, q, «j^} betrachten. Die Regelschar |j^, die wir auf 

 diese Weise bekommen, ist die Leitschar der Regelschar 4'^ des Hyper- 

 boloides X'^. Wenn wir den Schnitt unserer linearen Komplexe {p, q ; «^} 

 und {in, n, a^^} mit der lin. Kongruenz [rn, n] resp. [p, q'\ suchen, bekommen 

 wir auf ganz analoge Weise die Regelscharen rf und t]^, welche demselben 

 Hyperboloide Y'^ angehören. Dieses Hyperboloid Y^ ist das zweite Hyper- 

 boloid unseres speciellen Büschels, welches mit dem Hyperboloide A- in 

 Involution ist. Aus unseren Betrachtungen ist auch klar, daß die Hyper- 

 boloide X^ und y^ die einzigen gemeinsamen Hyperboloide imseres spe- 

 ziellen Büschels und Systèmes S^ sind. 



Wir können also den Satz aussprechen: 



Das System Z'g- aller oo^ Hyperboloide, welche mit einem gegebenen 

 Hyperboloide in Involution sind, ist quadratisch. 



Daraxis geht weiter hervor, daß das System aller Hyperboloide, 

 welclic mit den k {k ^ 9) gegebenen Hyperboloiden in Involution sind, 

 ein (9 — Ä)stufiges System vom 2* Grade ist. Insbesondere ist: 



Zu den 9 gegebenen Hyperboloiden existieren 512 Hyperboloide, welche 

 mit ihnen in Involution sind. 



Aus unseren Betrachtungen geht aber auch herx'or, daß das System 

 aller oo^ Regelscharen, welche zu der gegebenen Regelschar in Involution 

 sind, linear ist. So zu den Regelscharen «^ resp. Uy in dem Regelscharen- 

 büschel, der in der Kongruenz [m, n] liegt und durch die Geraden p, q be- 

 stimmt ist, sind in Involution die Regelscharen |j^ resp. t)-. 



Es gilt also der Satz: 



Das System aller Regelscharen, die in Bezug auf eine gegebene Regel- 

 sehar in Involution sind, ist linear. 



Betrachten wir jetzt das 7stufige System aller Hyperboloide, welche 

 in Bezug auf ein gegebenes Hypei-boloid in doppelter Involution sind. 

 Dieses System ist linear. Das kann man daraus ersehen, daß wir die Hyper- 

 boloide dieses Systèmes als die Träger der Regelscharen, welche mit den 

 Regelscharen des gegebenen Hyperboloides in Involution sind, betrachten 

 können. Und das Tstufige System dieser Regelscharen ist linear, weil 



