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C'est la seule condition à laquelle doivent satisfaire les points d'inter- 

 section du cône C avec la courbe, puisqu' on peut choisir arbitrairement 

 tous les points dont les paramétres figurent dans cette relation, excepté 

 un (et encore, si l'on veut, le point u^, qui a été choisi auparavant). C'est 

 ce qui s'ensuit, d' une part, de ce que par les points {iin+i), ■ ■ -, (»2«) 

 l'espace Î7„_i est parfaitement déterminée, et d'autre part, de la relation 



qui a lieu pour ■« + 1 ^ 4, c'est-à-dire, à partir de la courbe normale 

 dans l'espace ordinaire. 



Considérons les points (11/) pour / = 0, . . ., 2 « + 1 correspondant 

 aux points (iii) par la relation (1). On a 



"0' + "1 + • • • + lin = ± {llo + 11^ + . . . + Un) + n C + C. 



En remplaçant ici uC d'après la relation (3), et en employant la 

 congruence (5), on obtient 



"0' + "1' + • • • + "n =E + "2" + 1 »'2n + 1 + C ^ 



ce qui exprime le fait que les points («,/). • ••. ("»') sont situés dans un 

 espace linéaire f/'„_i. 



On démontre par les mêmes procédés que 



2 ll'zn + 1 + 111 + . . . + ■•In = 0, 



ce qui veut dire que les points correspondant aux points situés sur le cône C 

 sont situés eux-mêmes sur un cône quadratique C a3'ant pour sommet 

 (w'zn + i) ; ce qu'on a pu prévoir puisque C est le cône qui correspond au 

 cône C par l'homographie introduite ci-dessus. Le cône C coupe U'n—i 

 dans une variété quadratique c'. L'espace t/'n — i contient, en dehors du 

 point correspondant au somnet du cône C, encore les points correspondant 

 aux points qui sont situés sur C sans appartenir à U„—i. 



3. Dans l'espace à n dimensions qui contient la courbe C<" + ^', 

 construisons une transformation quadratique, déterminée comme il suit: 

 C, C sont les cônes principairx ; au sommet («„) du premier correspondent 

 tous les points de l'espace f/'»-i, au sommet («'2n + i) du second tous 

 les points de l'espace U„ — i', les deux cônes sont liés par l'homographie 

 mentionnée tout à l'heure. Enfin à un point arbitraire («) de la courbe 

 correspond le point qui lui correspond par la relation (.1). 



Par la transformation quadratique ainsi déterminée la courbe C<" + * 

 est transformée en une courbe elliptique normale r,<" + ^K En effet, à une 

 courbe de degré (« -f 1) correspond une courbe du degré 2 {n +1), mais 

 comme C<"+^' passe par le point (Mq), auquel correspond tout un espace 

 linéaire, et par les points («„ + i), . . ., («2..) sur c, auxquels correspondent 

 des génératrices du cône C, ce degré se trouve diminué de (« + 1) unités; 



