et il est évident que la courbe C^'" '^ ^' est elliptique et possède le même 

 module que C" "^ ^*. Considérons les points communs des deux courbes. 

 Tout d'abord, Ci'" + ^' contient les points {iii), ■ . ., (un), puisque ce sont 

 les points qui correspondent par la transformation quadratique aiLX points 

 («i), . . ., (m„). Quant au point (hq), dans cette transformation lui corre- 

 spondent tous les points de [/'„ _ i. A la tangente de C<" + ^' au point {u„) 

 correspond par l'homographie qui a lieu entre C et C la droite projetant 

 du point {u'zn + i) le point (ug) correspondant au point (?/q) par la relation 

 (1). Donc C]'" + ^' contient u„' ; on a ainsi trouvé un autre point commun. 

 Enfin, au point {1:2,, + i) correspond le point {u'-in + i) qui. lui aussi, appar- 

 tient à Ci<" + 1'. 



Faisons passer par ■»„ un espace linéaire Sa_i à {k — 1) dimensions» 

 ayant avec C<" ■^ ^' au point (■;f2.. + 1) un contact de l'ordre [k — 2). Par 

 ces conditions l'espace est déterminé. Par l'homographie lui correspond 

 un espace linéaire 5'*_i, qui, du point {ii'2n + i), projette {k — 1) fois 

 le point correspondant à (■»2n + i), c'est-à-dire, le point {u'-zn + i) même; 

 donc S'k—i a au point (u'in + i) avec la courbe C" "^ ^> un contact d'ordre 

 {k — 1). Mais on conçoit facilement que les deux espaces Sk — i, S'k—i 

 correspondent' l'un à l'autre aussi par la transformation quadratique ; 

 par cette transformation, à 1' espace qui coupe C<" + ^' au point {uq) et 

 au point {u2n + i) compté {k — 1) fois correspond l'espace ayant avec 

 C/" + 1' un contact d'ordre (k — 1) au point (^'2,1 + 1). Et, comme par cette 

 condition l'espace osculateur est déterminé, l'espace osculateur S'k—i 

 est commun aux deu.x courbes au point (u'zn + i)- Ce résultat a lieu pour 

 k = 2, . . ., n; il s'ensuit qu'au point (u'-2n + \) les deux courbes ont un 

 contact de l'ordre (« — 1) ; donc ce point compte pour n points d'inter- 

 section. 



Enfin, la courbe C/""^^') contient le point (m'). Nous avons trouvé 

 ainsi — en tenant compte de la multiplicité des points d'intersection — 

 2 (m -f 1) points d'intersection des deux courbes. Mais comme une courbe 

 elliptique normale est située sur des variétés quadratiques à (» — 1) dimen- 

 sions, ^) deux telles courbes ne peuvent avoir plus de 2 (« + 1) points 

 d'intersection ; et si ce nombre est atteint, ces points doivent satisfaire 

 à une condition, laquelle dans le cas considéré devrait avoir la forme sui- 

 vante: 



Uq + Mj' + . . . + U„' + n il\n + 1 + ««' ^ 



Mais cette relation ne peut être remplie puisque («') est un point 

 tout à fait arbitraire de la courbe. Donc, les deux courbes sont identiques. 



Si l'on tient compte de la liberté avec laquelle peuvent être choisis 

 plusieurs des points déterminant la transformation quadratique, on voit 

 bien qu'on a démontré le théorème suivant: 



2) Voir Klein-Fricke: ,, Vorlesungen über die Tlieorie der elliptischen Modul- 

 funktionen", t. II., p. 245. 



