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z. B. den Berührungspunkt der Tangente Aj konstruieren, so müssen wir 

 durch den Punkt Q einen Strahl, welcher parallel zu O^R^ ist, führen 

 und in seinem Schnittpunkte A^ mit der Geraden n die Senkrechte zu 

 diesem Strahle errichten, welche schon die Tangente Aj im gesuchten 

 Berührungspunkte ö schneidet. 



Wir haben bewiesen, daß die Rückkehrkante der asymptotischen 

 Fläche sich auf einem geraden parabolischen Zylinder, welcher die Parabel ^p 

 zur Leitkurve hat, befindet. Der Scheitel U der Parabel ^p ist reeller 

 Schnittpunkt dieser Rückkehrkante mit jt, und die Tangente der Rück- 

 kehrkante im Punkte V ist zu der Geraden q 11 d der Fläche S^, welche 

 in der grundrißprojizierenden Ebene der Leitgeraden / liegt, parallel, denn 

 die asymptotische Ebene längs der Geraden q ist zur Aufrißebene senkrecht. 

 Der Punkt U ist also der Rückkehrpunkt der Kurve c^, und die Gerade 

 Q U als Spurlinie der Oskulationsebene der Rückkehrkante im Punkte U, 

 ist die Tangente der Kurve c^ im Rückkehrpunkte (J. 



Wir sehen weiter direkt, daß die unendlich entfernte Ebene, welche 

 die Fläche S' in einem Punkte, der durch die zu jr senkrechte Richtung 

 gegeben ist, berührt, die Oskulationsebene der Rückkehrkurve sein muß. 

 Der Richtungskegel der as. Fläche ist ein Kegel 2. Ordnung, denn er muß 

 mit dem orthogo.:alen Richtungskegel der Fläche S^ identisch sein. Die 

 Rückkehrkante der asymptotischen Fläche ist also eine kubische Parabel. 

 Die betrachtete as. Fläche, als abwickelbare Fläche der Tangenten einer 

 Raumkurve dritter Ordnung, ist die Fläche 4. Ordnung und 3. Klasse. 



Aus Fig. 4 geht hervor, das A 0^ R^ [i gleichschenklig ist ; denn es 

 ist O^M = MRj und ^ M J_ M R^. Es ist also beständig der Abstand des 

 Momentanzentrums (i vom Mittelpunkte 0^ des Kreises ^k dem Abstände 

 des Poles (i von der Geraden )\ gleich. Alle Momentanpole erfüllen also 

 eine Parabel, deren Brennpunkt der Punkt 0,, und deren Leitgerade die 

 Gerade r^ ist. Bezeichnen wir diese Parabel -p. Da die Normale der Kurve c^ 

 im Punkte â mit der Geraden (« «^ _L ft 0, identisch ist, erkennen wir gleich- 

 zeitig, daß die Evolute der Kurve Cj mit der Enveloppe eines Schenkels 

 des bewegten rechten Winkels, dessen Scheitel die Parabel -p durchläuft, 

 während sein zweiter Schenkel durch den Brennpunkt 0, dieser Parabel 

 gleitet, identisch ist. Es ist also die Evolute der Kurve c^ mit der ersten 

 negativen Fußpunktkurvc der Parabel ^p für ihren Brennpunkt Öj als Pol, 

 identisch. Die Evolute der Kurve c^ ist demnach die zu den Newton' sehen 

 divergierenden Parabeln gehörige Kurve, welche den Namen Tschirhausens 

 Kubik^) trä.gt. 



Wir können also die Kurve c^ auch als Evolvente der kubischen Kurve 

 von Tschirnhausen, welche im Punkte U ihren Rückkehrpunkt hat, definieren. 



Wenn wir die Projektionen der einzelnen Geraden der asymptoti- 

 schen Fläche in n in der Strahlenrichtung, welche durch die ^'erbindungs- 



1) Dr. H. W i e 1 e i t n e r: Specielle ebene Kurven. 1908. p, 54. T e i x e i r a: 

 1. c. pag. 132. 



