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Man sieht weiter, daß die gesiichten Asymptoten die Schnittlinien 

 der einzelnen Berührungsebenen des geraden parabolischen Zylinders, 

 deren Leitkurve die Parabel p^' ist, mit zu diesen Ebenen senkrechten 

 Ebenen des Büschels, welches q zur Achse hat, sind. Es ist also dieses 

 Ebenenbüschel 2. Klasse mit dem betrachteten Ebenenbüschel projektiv, und 

 die Schnittlinien der sich entsprechenden Ebenen dieser Büschel, oder die 

 gesuchten Asymptoten erfüllen demnach eine windschiefe Fläche 3. Ordnung. 

 Bezeichnen wir diese Fläche ^S^. Die Gerade q als Achse des Ebenen- 

 büschels ist die Doppelleitlinie dieser fläche. Der Richtungskegel der 

 Fläche 15^ muß offenbar mit dem orthogonalen Richtungskegel der Fläche S^ 

 identisch sein. Wir sehen weiter, daß die windschiefe Fläche ^S^ eine un- 

 endlich entfernte Gerade, welche durch die Richtung der Aufrißebene 

 gegeben ist, besitzt. Diese Gerade ist also mit der Geraden u<xi der Fläche S'^ 

 identisch. Wenn wir die Ebene, welche durch die Gerade q und die Gerade (/ 

 bestimmt ist, betrachten, so ist der Kegelschnitt, in welchem diese Ebene 

 die Fläche S^ schneidet, mit der doppelt gezählten Geraden q identisch. 

 Es gehört also die Gerade d auch der Fläche ^S^ an. 



Die grundrißprojizierende Ebene der Geraden d enthält auch die 

 Gerade /^x ; sie schneidet also die Fläche 'S^ in einer dritten Geraden, 

 welche die einfache Leitgerade der Fläche sein muß. Bezeichnen wir diese 

 Gerade /'. Dieselbe geht offenbar durch den Punkt A■^. Früher haben wir 

 angeführt, daß die Mittelpunkte der Hyperbeln, in denen die einzelnen 

 Ebenen des Büschels mit der Achse q die Fläche S^ schneiden, sich in der 

 grundrißprojizierenden Ebene der Geraden d befinden. Da aber diese Ebene 

 die windschiefe Fläche ^5^, welche von der einen Schar von Asymptoten 

 dieser Hyperbeln erfüllt ist, in der Leitgerade /' schneidet, so ist die 

 Gerade /' der geometrische Ort der Mittelpunkte der betrachteten Hyper- 

 beln. Dadurch ist schon der früher angelührte Satz bewiesen. 



Wir sehen weiter, die Fläche S^ berührt die Fläche ^S^ längs des 

 Kegelschnittes £x, in dem die unendlich entfernte Ebene den gemein- 

 samen orthogonalen Richtungskegel dieser Flächen schneidet. Die Durch- 

 dringungskurve 9. Ordnung der Flächen S^ und ^S^ zerfällt also in die 

 doppelt gezählten Geraden d und q, die Gerade ?/» und in den doppelt 

 gezählten Kegelschnitt ex . 



W enn wir durch die Gerade d der Fläche ^S" eine Ebene e" n 

 ie^'' -^A^R^') führen, so schneidet diese Ebene die Fläche ^S^ in einer 

 Hyperbel, deren eine Asymptote zur Geraden s der Fläche ^S^ parallel 

 ist. Die Spurlinie der as. Ebene der Geraden s ist die Verbindungslinie 

 ^Ri, welche die Spurlinie G," im Punkte i?/ schneidet. Da die gesuchte 

 mit der Geraden s parallele Asymptote durch den Punkt R^' gehen muß 

 so ist dieselbe mit der Geraden r' der Fläche identisch. Es gilt also: 

 Wenn wir durch die Gerade d der Fläche 'S^ beliebige Ebenen führen, so 

 schneiden dieselben die Fläche ^S'-' in den Hyperbeln, deren eine Schar 



