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/, (/, Xi, X^ , X„) = Jr {t. X^. X^ -Yn) 



SI ^ ■ dx, ^t ' ^ ■' dXi 



(;- = 1, 2 «), 



sich ergeben, wo keine der Determinanten 



14 



3/r 



und -r — identisch 



o Xi 



gleich Null ist, bestehen darin, daß in Folge der Bfziehungen (14) die Pro- 

 portionalität der Determinanten der Matrizen (3), (4) und (5), (6) erfüllt 

 sei, über welche im Satze der vorigen Nummer die Rede war. 



Die Funktionen Jr und /, der ersten Zeile von (15) können als die- 

 jenigen Funktionen betrachtet werden, welche infolge der Beziehungen 

 (H) Lösungen des Systems von Gleichungen: 



^ - U = 1. 2 11) ; 4^ = (i = 1. 2, . . ., n) ; Q - Q (16) 



sein müssen, wo :5 und ig unbekannte Funktionen sind. Man bemerke, 

 daß die ersten n Gleichungen von (16) ein w-gliedriges vollständiges System 

 bilden und daß die weiteren n Gleichungen von (16) auch ein w-gliedriges 

 vollständiges System bilden. Wenn man daher in diesen Gleichungen die 

 Größen Jp beziehungsweise Jp, als unabhängige \^eränderliche einführt, 

 so ergeben sich zwei vollständige Systeme; 



Hlil^ = 0, a = l, 2,..., n] 



1 9 y>. 3 Jp 



4J dy, dj, 



[i = 1, 2, 



in welchen die Koeffizienten — =^ durch die Veränderlichen J, und t und die 



3y, 



3 j 

 Koeffizienten ^ durch die Veränderlichen Jg und / ausgedrückt sind. 



Es handelt sich aber darum, diese Systeme bei den Annahmen; 



3 = S, Jp = Jp {p = 1,2 2 n) (17) 



zu befriedigen, wir kommen daher auf die partiellen Differentialglei- 

 chungen ; 



V. SJp 3S ^0, (A = l, 2,..., n) 



>iiif = 0, 



■I 3 yi 3 Jp 



(18) 

 (;■ ==1, 2, . . ., n) 



