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wo auch die Koeffizienten — =^ durch die Größen .7* \md / ausgedrückt 



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 zu denken sind. Wir sehen also, daß die speziellen Beziehungen (15) 

 jedenfalls nur dann sich ergeben, wenn die 2 n Gleichungen (18) außer 

 t noch n und nur n unabhängige Lösungen besitzen. Da aber jedes der 

 beiden vollständigen Systeme (18) n unabhängige Lösungen außer t be- 

 sitzt, so müssen diese Systeme miteinander äquivalent sein, d. h. es muß 

 die früher genannte Proportionalität der Determinanten #-ten Grades 

 der Matrizen (3) und (4) stattfinden. Damit sich aber die speziellen Be- 

 ziehungen (15) ergeben, ist es außer den soeben genannten Bedingungen 

 noch notwendig und dabei auch hinreichend, daß bei den Annahmen (17) 

 auch die Differentialgleichung; 



dt 1 2 X) 9 / *f 3 .Yj 



durch die Funktionen /, und /, erfüllt wäre. Wenn man in dieser Glei- 

 chung die Größen Jp und Jp als unabhängige Veränderliche einfülirt, so 

 ergibt sich: 



was unter Berücksichtigung von (17) und Benutzung der Bezeichnungen 

 (10) auf die Form: 



S^-i^p 





gebracht werden kann. Diese Gleichung muß aber auch die Folge jedes 

 der beiden vollständigen Systeme (18) sein und daraus folgt ohne weiteres, 

 daß noch die Proportionalität der Determinanten (n + l)-ten Grades der 

 Matrizen (5) imd (6) mit dem früheren Proportionalitätsfaktor stattfinden 

 muß, wodurch der geforderte Beweis erbracht ist. 



In der hier dargelegten Weise läßt sich auch die folgende Frage be- 

 handeln. 



Es mögen m <[ 2 n Gleichungen von der Form: 



Jp (/, x^, . . ., x„, }\, . . ., }•„) = Jp [t, X], . . ., Xn, y\, . . ., y„) (19) 

 (/) = 1, 2, tn) 



vorliegen, welche sowohl in bezug auf die \'eränderlichen xx, Vx, wie auch 

 in bezug auf die Veränderlichen Xi, Xi voneinander unabhängig sind. Wir 

 suchen alle Beziehungen von der Form: 



3 {t, x„ ^2, . . ., ^„) = S {i. Xi, x^,..., x„) (20) 



