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= t' S" ^ ^ ^^'^ ''■• ^ = !■ 2 n). (30) 



Wenn man in den Gleichungen (25), (27) und (30) die Größen X), als will- 

 kürliche Funktionen der Argumente t, x^, x.,, . . ., %„ — mit der Beschrän- 



kung, daß die Funktionaldeterminante 



nicht identisch gleich Null 



lXi_ 



3 X{ 



sein soll — betrachtet, dann definieren diese Gleichungen eine unend- 

 liche Transformationsgruppe der Größen r<, yt, »<, ««* und i in die Größen 

 Xx, yi, Vi, aif^und t. in welcher die Variable / nur die identische Trans- 

 formation erfährt. Wir können uns die Aufgabe stellen, Differential- 

 invarianten dieser Transformationsgruppe zu untersuchen. In Fällen, 

 welche nicht zu Ausnahmefällen gehören, liefert schon bekanntlich die 

 quadratische Differentialform unendlich viele Differentialinvarianten und 

 diese Differentialinvarianten können auch für das Äquivalenzproblem 

 der hier definierten Transformationsgruppe verwendet werden. Für diese 

 Transformationsgruppe können aber auch viele andere Differentialinva- 

 rianten in Betracht kommen. Auf die Gesamtheit aller dieser Diffe- 

 rentialinvarianten gehen wir in der gegenwärtigen Abhandlung nicht ein, 

 wir wollen aber hier gewisse spezielle dieser Differentialinvarianten unter- 

 suchen, welche jedenfalls nur dann vorhanden sein können, wenn die 

 Größen i'j und vj, von den r* beziehungsweise j). tatsächlich abhängig 

 sind und wenn diese Größen, als Funktionen genannter Argumente auf- 

 gefaßt, in keinem der Systeme (24) und (26) alle sämtlich Polynome 

 vom ersten oder zweiten Grade sind. Dies wollen wir auch in den nach- 

 folgenden Betrachtungen voraussetzen. 



4. Man bezeichne mit o<</, das algebraische Komplement des Ele- 

 mentes aar von | «<* | dividiert durch diese Determinante und mit Oaa' 

 das algebraische Komplement des Elementes a^x' von ] «a^ | dividiert 

 durch diese Determinante. Wir haben alsdann die Beziehungen: 



(31) 



und die mit denselben gleichbedeutende Invarianz: 



II ^yi ^yi' 1 1 -* '* 



Wenn man die Gleichungen der zweiten Zeile von (27) nach }'*,> >'*. und 

 }'*„ differenziert, so ergeben sich die Beziehungen: 



y,, y,. y,. ï^^ïîj^^Ii^ ?^^ = 



III ^^*. ^^*. ^^*' 9 3V. 3 -V/-. 9 >V'. 

 1^ Üi!^ (A, K K -^3 = 1. 2 n) (33) 



^Xi 9 y*. 2 y*. a y*. 



= S' 



