146 



und die quadratische Differentialform: 



h. h' a!... {i, F„ X, , x„) â x>. d x„ [55} 



11 



mit nicht identisch verschwindender Diskriminante vorgelegt sein. W'k 

 verstehen darunter, daß die in (52), (53) und (51), (55) auftretenden Funk- 

 tionen in der Tat gegeben sind, wir nehmen an, daß die Voraussetzung, 

 welche wir in bezug auf die Funktionen vt und vx am Schlüsse der Nummer 

 3 getroffenhaben, erfüllt ist und wir wollen die Frage zu entscheiden suchen, 

 ob das System von Differentialgleichimgen (52) und die Differentialform 

 (53) in das System von Differentialgleichungen (54) und die Differential- 

 form (55) durch eine Transformation von der Form: 



J, = 7x [t, X,. X,. . . ., x„) (A = 1, 2, . . ., n) (56) 



übergefülirt werden können . 



Diese Frage werden wir unter der ^'oraussetzung behandeln, daß es 

 uns durch Verfahren, über welche in den Nummern 4, 5 und 6 die Rede 

 war, gelungen ist, 2 n Differentialinvarianten aufzustellen, welche für eines 

 der Systeme (52), (53) und (51), (55) in bezug auf die 2n Veränderlichen 

 Xi, y'k oder beziehungsweise X). y,, alle voneinander unabhängig sind. Sollten 

 diese 2 n Differentialinvarianten, für das andere System ausgerechnet, 

 nicht in bezug auf die entsprechenden 2 n Argumente alle voneinander 

 unabhängig sein, so wäre damit konstatiert, daß die Systeme (52), (53) 

 und (54), (55) durch keine Transformation von der Form (56) ineinander 

 übergeführt werden können. Wir werden daher voraussetzen, daß unsere 

 2 n Differentialinvarianten in den vorgelegten Systemen die Gleichheiten: 



Jp [t, A'i x„, }\, . . ., y„) = Jp (/, .Vi, . . ., x„, 3'i, . . ., :\'„), (57) 



(/> = 1, 2 2 n) 



liefern, die sowohl in bezug auf die Veränderlichen Xi, yk, wie auch in bezug 

 auf die Veränderlichen Xx, y,, alle voneinander unabhängig sind. Es kommt 

 dabei zunächst darauf an, zu untersuclien, ob aus diesen Relationen (57) 

 Beziehungen von der Form: 



Xx = Xx {f, x^, X, , x„), 



oder in allgemeinerer Gestalt Beziehungen von der Form: 



Jr (/, X\, X, , X„) = Jr (t, .X„ X.,, . . ., X„) 



^t. ' ^■^\^^' ,t +^ '^ ^x ■ 

 (A = 1, 2 n) 



