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auf s' uP-d zugleich als Schnittpunkt beider Polareiiprcjektionen dar- 

 gestellt. 



3. In Fig. 3 ist noch ein windschiefes (leradenpaar L\ U', l\ V so 

 bestimmt, daß die viei Geraden P^P' ^p, Q^Q' ^q, UiU'^ii und 

 f'i V Sr i \'ier Erzeugende desselben Systems eines windschiefen Hyper- 

 boloids sind. Bekanntlich bestimmen vier windschiefe Erzeugende eines 

 Hyperboloids einen linearen Komplex, sobald man je zwei von ihnen als 

 ein konjugiertes Polarenpaar ansieht. Die Grundelementc des Komplexes 

 werden in diesem Folie, wenn -p, q das eine, ii, v das zweite Polarenpaar 

 sein soll, einfach in folgender Weise gefiniden. Die Verbindungslinien P^ Çj 

 und U^ Fj ergeben in ihrem Schnittpunkt den Grundpunkt Sj ; die Ver- 

 bindungslinien P' (/ und V V liefern weiter den Grundpunkt S». Die 

 Schnittpimkte K und M der Projektionen Pj P', Çj Q' beziehungsweise 

 U-^ U', Fj V bestinmien die Grundgerade s' , und es muß s' parallel zu 

 -Si-S, sein. 



Eine andere Gruppierung der gegebenen (jeraden zu zweien ergibt 

 natürlich auch einen anderen linearen Komplex. 



Man kann umgekehrt mittels eines linearen Komplexes leicht vier 

 Erzeugende derselben Schar eines Hyperboloids bestimmen. jMan wählt 

 drei Erzeugende, etwa P^ P', Q^ Q' und U^ IJ' beliebig und ordnet die 

 ersteren zwei als einander konjugierte Polaren in irgend einem Komplexe 

 zu. Zieht man P' 0' und durch Pj eine Parallele Pj L zu dieser Linie, wählt 

 man weiter durch den Schnittpunkt K ^ P^ P' -Qi Q' irgend eine Gerade s', 

 welche die vorher gezogene Gerade P^ L in L trifft, so ergeben die Geraden 

 Pi Qi und L Q' in ihrem Schnittpunkte den Grundpunkt Sj, und die durch S^ 

 zu s' gezogene Parallele liefert auf P' Q' den zweiten Grundpunkt S.^. 

 Hiedurch ist erst ein linearer Komplex bestimmt und man hat bloß für 

 die Erzeugende U^ U' die konjugierte Polare \'\ V im ermittelten Kom- 

 plexe auf die angegebene Weise zu konstruieren. 



Dabei leistet der Punkt M ^ (U-^ U' .s') gute Dienste. Nach diesem 

 zweiten Vorgange hat man also nicht bloß \ier windschiefe Erzeugende 

 eines Hyperboloids in Zentralprojektion dargestellt, sondern man hat 

 zugleich denjenigen linearen Komplex ermittelt, welcher durch die ge- 

 nannten vier Erzeugenden mitbestimmt ist. Wir werden sehen, daß die 

 Gruppierung der vier Erzeugenden zu verschiederien Polarenpaaren zwar 

 zu verschiedenen Komplexen führt, daß aber dies für die Lösung \on 

 Fragen, mit denen wir uns hier beschäftigen, ohne Belang ist. 



i. 1st irgend ein räumliches Kräftesystem auf zwei windschiefe 

 Kräfte der Richtung und Größe nach zurückgeführt worden,^) so ist da- 

 durch auch der lineare Komplex mitbestimmt, dessen Strahlen mit bezug 

 auf das System das Moment Null haben. Die Bestimmung des linearen 



1) Die Zurückfülarung geschieht bekanntüch auf Grund von Zusammensetzun- 

 gen und Zerlegungen der Vektoren aus dem ursprüngHch gegebenen Systeme. Siehe 

 etwa Appell, 1. c, S. 20. 



