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Nachdem also die Reduktionsresultante für U^ U', l\ ]" durch S.^S^, 

 Sj R^ gegeben ist, so kann man diese auf zwei Komponenten mit den 

 Wirkung sUnien Ui U', Vj V zerlegen. Es geschieht dies genau in um- 

 gekehrter Reihenfolge des Vorgangs, durch welchen aus P^ P', Ç^ Q' die 

 Resultierende Sj S^, S^ R gewonnen wurde. Man erhält die beiden Vek- 

 toren Fj D und Î7i C, so daß man schließlich alle vier im Gleichgewichte 

 sich befindlichen Kräfte in P^ A , Q^ B, [7j C und V■^ D auf den entspre- 

 chenden zentralprojektiv dargestellten Wirkungslinien erhält. 



Jlan hat also in der Tat aus drei gegebenen Wirkungslinien Pj P' , 

 QiQ', U^U' und den Vektoren P^A, Q^B auf zweien von ihnen das 

 genannte Gleichgewichtssystem hergestellt, so wie dies Sturm im an 

 geführten Satze fordert. 



Hätte man von den drei gegebenen Wirkungslinien Pj P', Q^ Q', U^ U' 

 etwa die erste und dritte zu konjugierten Polaren eines zu bestimmenden 

 linearen Komplexes gewählt und auf denselben die Vektoren Pj A und 

 f/j C (also dieselben Größen aus dem ersteren Fall) angenommen, so wäre 

 der neue Komplex vom ersteren zwar verschieden, aber auf das Gleich- 

 gewichtssystem selbst hätte diese geometrische Änderung keine Wirkung. 

 Denn die Reduktionsresultanten für die Kräfte P^P', U^U' und QiQ', 

 l\ V auf demselben Komplexdurchmesser müßten entgegengesetzt gleiche 

 Größen haben und die Resiiltante von Q^ Q', Fj V ließe sich nur auf eine 

 Art in Komponenten auf diesen Linien zerlegen. Diese Komponenten 

 sind also wegen des unveränderten Gleichgewichtssystems in jedem Falle 

 die gleichen Größen Q^ B und T\ D, weil Pj A und C/j C dieselben geblieben 

 sind .wie vorhin. 



5. Sturm gibt für das Gleichgewicht von vier Raumkräften auch 

 eine andere Form^) und zwar die folgende: Sind auf einem Hvperholoide 

 vier Erzeugende desselben Systems als Wirkungslinien von Kräften gegeben, 

 und wählt man auf einer von ihnen den Kraftvektor beliebig, so sind die 

 Vektoren auf den übrigen drei Linien schon bestimmt, wenn das ganze Svston 

 von vier Kräften im Gleichgewichte sein soll. — 



Sollen vier gegebene Kräfte (auf einem Hyperboloide) P^A, Q^B, 

 U^C, VyD im Gleichgewichte sein, dann ist es immer möglich, aus ihnen 

 zwei äquivalente Systeme zu bilden. Führen wir nämlich auf den Wirkungs- 

 linien beider letzteren Kräfte zwei entsprechend gleiche und entgegengesetzt 

 gerichtete Kräfte — [/^ C, — Fj P) ein, dann sind diese mit U.^ C und \\ D 

 im Gleichgewicht; die beiden Systeme P^A, Q^B und — U^C, — ViD 

 sind also äquivalent, weil das erstere von ihnen mit demselben System 

 U-^C, V^D im Gleichgewicht sich befindet, wie das letztere. Die genannten 

 äquivalenten Systeme besitzen also Wirkungslinien, welche in den ange- 

 gebenen Paaren konjugierte Polaren in demselben Nullsystem, also auch 

 Erzeugende derselben Schar eines Hvperboloids sein werden. 



1) 1. c, S. 224. 



