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6. Sturm gibt auf Grund von ]\Iomentenpolygonen auch noch 

 die folgende Äquivalenzbestimmung i) : Wenn auf n Erzeugenden desselben 

 Systems eines hyperbolischen Paraboloids Kräfte wirken, deren Kräfiepolygon 

 geschlossen ist, so können die gegebenen Kräfte durch ein Kräftepaar ersetzt 

 ■•Verden, dessen Ebene zur Direktionsebene des anderen Erzeugendensystems 

 parallel ist. 



Auch diese Bestimmung kann mittels eines linearen Komplexes 

 einfach erledigt werden. Es sei vor allem erwähnt, daß es sich hier um 

 Kräfte handelt, deren Reduktionsresultante zwar die Größe Null hat, 

 daß aber das System nicht im Gleichgewicht sich befinden muß, sondern 

 daß dasselbe durch ein Kräftepaar ersetzt werden kann. Die Ebene dieses 

 Kräftepaars wird wieder die dem Durchmesser, auf welchem die Resul- 

 tante vom Vektor Null liegt, konjugiert zugeordnete Ebene sein, wenn man 

 annimmt, daß das hyperbolische Pai-aboloid in einen linearen Komplex 

 hineingelegt wird. 



In der Tat, befindet sich ein hyperbolisches Paraboloid in einem 

 Komplex, so müssen die Erzeugenden der einen Schar Komplexstrahlen, 

 die der anderen Schar Leitgeraden (Polaren) des Komplexes sein. Wir 

 nehmen an. daß die gegebenen n Kräfte auf Polaren des Paraboloids 

 liegen, und daß die diesem Polai-ensystem zugehörige Direktionsebene d ist. 

 Wir legen ferner einen, solchen linearen Komplex zugrunde, für welchen 

 die Ebene â eine Durchmesserebeve sein wird. Die Fluchtlinie dieser Ebene 

 sei mit d' bezeichnet ; gemäß der oben festgelegten Zentralprojektion des 

 Komplexes wird d' den Fluchtpunkt .S'a aller Durchmesser enthalten müssen, 

 und die Fluchtpunkte der \Mrkungslinicn der gegebenen n Kräfte werden 

 auf d' gelegen sein. 



Da ein jeder Punkt auf d' ein Fluchtpunkt für eine Erzeugende des 

 Paraboloids ist, welche demselben Systeme wie die n Kräfte angehört, so 

 wird unter diesen Erzeugenden auch ein Durchmesser k des Komplexes 

 sich befinden, weil der Punkt S^ auf d' liegt. 



Die Vektoren der n Kräfte können immer so gewählt werden, daß 

 die Resultante auf dem Durchmesser k die Größe Null habe. Legt man 

 nämhch durch k die zu d parallele Ebene d' und zieht in dieser durch 

 irgend einen Punkt K von k Parallele zu den Wirkungslinien der n Kräfte, 

 dann wird aus n — 1 Vektoren immer der w-te abgeleitet werden können, 

 so daß die Größe der Resultante Null sein wird. Das diesen n Kräften 

 äquivalente Kräftepaar liegt, wie gesagt, in einer Ebene «', welche im 

 Komplex dem Durchmesser k konjugiert sein muß. Wir suchen diese 

 Ebene s' durch den Punkt A' auf k. Durch A' geht vorerst eine Erzeu- 

 gende l des Paraboloids, welche in dem von k verschiedenen Erzeugenden- 

 systeme hegt, und welche also ein Kowplcxstrahl sein wird. Da weiters 

 die zu k konjugierte Ebene e' ihren Nullpunkt in A haben wird, so folgt, 



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