Zur Konstruktion einer gleichseitigen Hyperbel aus 



vier imaginären Punkten oder Tangenten und eine 



Eigenschaft des Kegelschnittbüschels. 



Von J. SOBOTKA. 



(Mit 1 Figur im Text.) 



\'orgelefrt am 26. Februar 1915. 



Diese Bemerkungen sind veranlaßt durch die gleichnamige Arbeit 

 \on V. Jarolimek ; ^) sie betreffen eine naheliegende A^ereinfachung der von 

 ihm entwickelten Konstruktionen und eine kleine damit zusammenhängende 

 Betrachtung. 



1 . Es seien also in einer Ebene zunächst auf zwei Geraden M, N zwei 

 elliptische Involutionen {M), {N) gegeben, durch deren Doppelpunkte a, 

 b und c, d die gleichseitige Hj'perbel gelegt werden soll. Wir bestimmen, 

 wie in der erwähnten Arbeit, die zum Schnitt x von M und N konju- 

 gierten Punkte in und n in den beiden Involutionen und dann bestimmen 

 wir in (M) das Punktepaar e e^, welches die Punkte x, m und in (N), 

 das Punktepaar / /j, welches die Punkte x, n harmonisch trennt. Es sei y 

 der Schnittpunkt \'on c f^ mit e^ f und z der Schnittpunkt von e f mit c^ /j ; 

 alsdann ist x y z das gemeinschaftliche Polardreieck für alle Elemente des 

 durch rt, h, c, ä bestimmten Kegelschnittbüschels. Der dem Dreiecke xyz 

 umgeschriebene Kreis k ist der geometrische Ort der Mittelpunkte für alle 

 gleichseitigen Hyperbeln, welche x y z zum Polardreieck haben ; auf ihm 

 liegt also auch der Mittelpunkt s der gesuchten Hyperbel. Die Geraden 

 c z, e^z schneiden k noch in j e einem Punkte und die Verbindungsgerade 

 der zwei so erhaltenen Punkte treffe x y im Punkte z-^. Der Punkt z^ ist 

 also der Pol der Involution [z), durch welche sich {M) und (iV) von z aus 

 auf k gemeinschaftlich projizieren. Ebenso trifft die Verbindungsgerade 

 der weiteren Schnittpunkte von y c und y e^ mit k die Gerade x z im. 

 Pole j'i der Involution (>), welche (M) und (iV) gemeinschaftlich von y 

 auf k projiziert. Schließlich treffen sich die Tangenten an den Kreis k in 

 seinen weiteren Schnittpunkten mit M und N in dem auf y z liegenden 



1) A. a. O. dieses Bulletins. 

 Bulletin international. XX. 



