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der Strecke 12 als Durchmesser beschriebene Kreis die andere Achse in 

 den Brennpunkten \-on h, wodurch die Konstruktion von h als erledigt 

 zu betrachten ist. 



"2. Es seien m, n die Mittelpunkte 7Aveier elliptischen Strahleninvo- 

 lutionen (m), (n), durch deren Doppelstrahlen A, B resp. C, D vier imagi- 

 näre Geraden als Tangenten einer gleichseitigen Hyperbel gegeben sind. 

 Wir bestimmen dem vorangehenden analog zur Geraden X = [m n) die 

 konjugierten Geraden in {iu) und (w), welche sich im Punkte x schneiden 

 mögen. Weiter ermitteln wir in {m) das inbezug auf X und (in x) harmo- 

 nische Strahlenpaar E E^ und in (w) das Strahlenpaar F F^, welches inbe- 

 zug auf X und [n x) harmonisch ist. Die Schnittpunkte der Geraden E, F 

 und £\, Fj legen die Gerade Y und die Schnittpunkte der Geraden E, F^ 

 und E^. F legen die Gerade Z fest, wobei sowohl Y als auch Z durch x gehen. 

 Schneidet nun X die Geraden Y, Z in den Punkten z, y, so ist hier wieder 

 X y z das gemeinschaftliche Polardreieck aller Kegelschnitte, welche von 

 den Geraden .4, B. C, D berührt werden. Der dem Dreiecke x y z umschrie- 

 bene Kreis k wird also den Mittelpunkt der fraglichen Hyperbel enthalten. 

 Die Halbierungspunkte der drei Diagonalen des von den Geraden A, B, 

 C, D gebildeten Vierseits liegen auf einer Geraden P, welche die Mittel- 

 punkte aller Kegelschnitte enthält, welche A, B, C und D berühren. Diese 

 Gerade geht hier also durch den Mittelpunkt o der Strecke m n und weiter 

 durch die Mittelpunkte der Involutionen, welche (m) und («) gemeinschaft- 

 lich auf y und Z einschneiden. Ziehen wir also beispielsweise durch m die 

 Parallele y zu Y und konstruieren in (m) den zu Y' konjugierten Strahl Y", 

 so schneidet Y" die Gerade Y in einem weiteren Punkte von P. Die Gerade P 

 treffe k in den Punkten s^ s,,- Wir sehen, daß unsere Aufgabe im allgemeinen 

 zwei gleichseitige Hyperbeln liefert. Beide haben .v; }■ :: zum Polardreieck 

 und die eine hat Sj, die andere s.j zum Mittelpunkte. Die Asymptoten, 

 Achsen und Brennpunkte einer jeden von ihnen werden alsdann in gleicher 

 Weise erhalten, wie in der vorangehenden Aufgabe. 



3. Es sei wieder x y z das gemeinschaftliche Polardreieck der Kegel- 

 schnitte eines Kegelschnittbüschels Z!. Schreiben wir dem Dreieck x y z 

 irgend einen Kegelschnitt k um und suchen die zu den Punkten von k in- 

 bezug auf den Büschel konjugierten Punkte. Diese werden bekanntlich 

 eine Gerade d beschreiben. Die Polaren von irgend einem Punkte p auf k 

 inbezug auf alle Kegelschnitte in 2 schneiden sich also in einem Punkte p' 

 auf â. Wählen wir in Z die in Geradenpaare entartenden Kegelschnitte. 

 Die Geraden eines von ihnen schneiden sich in z und sind Doppelstrahlen 

 der Involution, deren irgend ein Strahlenpaar man erhält, wenn man z mit 

 den konjugierten Punkten p, p' verbindet. Diese Involution schneidet 

 auf k eine Punktinvolution ein, deren Pol ît^ auf xy liegen muß, weil 

 ja zx und zy auch ein Paar dieser Involution bilden. Dieser Punkt z^ 

 gehört auch schon der Geraden d an ; denn denken wir uns, daß p auf k 

 nach p„ unendlich nahe an z rückt, so wird z p.j zur Tangente von k in z 



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