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zu einem Polardreieck und a, i(' zu konjugierten Punkten hat. Die Kegel- 

 schnitte u. V legen nun den fraglichen Büschel 2? fest. 



Es sei nun irgend ein Kegelschnitt k gegeben ; demselben werde ein 

 Dreieck xyz eingeschrieben und außerdem seien zwei Punkte a, a', der 

 eine auf k, der andere nicht auf k, beliebig gegeben. Wir können nach dem 

 soeben erläuterten a, a' als konjugierte Punkte und xyz als das Polar- 

 dreieck eines Kegelschnittbüschels 2J auffassen und die Gerade d suchen, 

 welche der geometrische Ort von Punkten ist, die zu den Punkten von h 

 inbezug auf 21 konjugiert sind. Diese Gerade geht durch a' . Die Geraden 

 z a, z a' bilden ein Paar in der Involution um z, welche die durch z ge- 

 henden in 27 enthaltenen Geraden zu Doppelelementen hat. Schneidet also 

 a' z den Kegelschnitt noch im Punkte z^, so schneidet die Gerade a z^ die 

 Gerade x y in dem früher mit 2^ bezeichneten Punkte. Die zuletzt erwähnte ' 

 Involution schneidet nämlich auf k eine Involution ein, welche 2, zum 

 Pol hat. Der Punkt Zy ist zu dem zu z auf k unendlich benachbarten Punkte 

 inbezug auf E konjugiert und es ist d = [z^a'). Analog finden wir die 

 Punkte Xy, y^ von d auf }' z bezw. z x. 



Zu dieser Konstruktion führt auch die folgende Erwägung. Den 

 Punkten x, y, z auf k sind die Schnittpunkte von â mit y z, z x, x y inbezug 

 auf E konjugiert und es ist bekanntlich {x y z a) = {x-^y-^z-^a'). Projizieren wir 

 die ersten vier Punkte von ^^ auf x y, so erhalten wir {x y z a) = {x y ^ z^) = 

 — (^1 tyx), wenn Ç den Schnitt von z z., mit x y bezeichnet. Da {x^yi^-^a') — 

 = {z-y a' Xy yj ist, so folgt (2, ^ y z) = {z^ a' % y^). Die Punktreihen z^^y z, 

 z^a' Xy y y sind also perspektiv ; ihr Perspektivzentrum ist der Schnitt von 

 y Xy mit 3'i x, also der Punkt z ; folglich trifft die Gerade z- z^ die Gerade d 

 im Punkte a' . Umgekehrt folgt aus unserer Konstruktion die Projektivität 

 der zugehörigen Punktreihen auf k und d. 



Aus unserer Betrachtung folgt nun der folgende von Steiner her- 

 rührende Satz, mit dem ich mich wiederholt beschäftigt habe: ,, Projizieren 

 wir die Ecken eines einem Kegelschnitte k eingeschriebenen Dreiecks xyz 

 von irgend einem Punkte a' seiner Ebene wieder auf den Kegelschnitt 

 nach X2 y.2 z., und die Ecken dieses Dreiecks von irgend einem Punkte a 

 von k auf die Gegenseiten 3' z. x z, x y von .v \' z nach x^, y^, z^, so liegen 

 die Punkte .Vj, y^, z^ auf einer durch n gehenden Geraden d". 



Durch das Polardreieck xyz und die konjugierten Punkte a, n' ist 

 nämlich ein Kegelschnittbüschel 27 in früherer Weise bestimmt. Die Ge- 

 rade â ist hier der Träger einer Punktreihe, zu deren Punkten die inbezug 

 auf den Kegelschnitt büschel £ konjugierten Punkte den Kegelschnitt k 

 bilden, wodurch die Richtigkeit des Satzes bewiesen ist. 



Sind das Dreieck x y z und die Punkte a, a beliebig gegeben und 

 soll man in dem Büschel E zu irgend einem Punkte m den konjugierten 

 Punkt in' konstruieren, so kann man nach unseren Darlegungen wie folgt 

 \-orgehen. Wir verbinden einen der Punkte a, a' , zum B. «', mit dem 

 Punkte m durch die Gerade d ; trifft diese x y in z^, so schneiden sich a z^ 



